एक आयत का 6 गुणा 4 विकर्ण क्षेत्रफल कैसे मापें। सम्मुख भुजाएँ समानान्तर हैं

4. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जिसे एक वर्ग के विकर्ण के माध्यम से एक आयत के चारों ओर वर्णित किया गया है:

5. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जिसे वृत्त के व्यास के माध्यम से एक आयत के चारों ओर वर्णित किया गया है (वर्णित):

6. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक आयत के चारों ओर विकर्ण से सटे कोण की ज्या और इस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई के माध्यम से वर्णित है:

7. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जिसे एक आयत के चारों ओर विकर्ण से सटे कोण की कोज्या और इस कोण की भुजा की लंबाई के माध्यम से वर्णित किया गया है:

8. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक आयत के चारों ओर विकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच न्यून कोण की ज्या के माध्यम से वर्णित है:

एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच का कोण.

एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच का कोण निर्धारित करने के सूत्र:

1. विकर्ण और भुजा के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

2. विकर्णों के बीच के कोण के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

एक आयत के विकर्णों के बीच का कोण.

आयत के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात करने के सूत्र:

1. किसी आयत के विकर्णों के बीच के कोण को भुजा और विकर्ण के बीच के कोण से ज्ञात करने का सूत्र:

β = 2α

2. क्षेत्रफल और विकर्ण के माध्यम से एक आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र।

एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण 90° के बराबर होते हैं, और सम्मुख भुजाएँ समान्तर और जोड़े में बराबर होती हैं।

एक आयत में कई अकाट्य गुण होते हैं जिनका उपयोग एक आयत के क्षेत्रफल और उसकी परिधि के सूत्रों में, कई समस्याओं को हल करने में किया जाता है। वे यहाँ हैं:

किसी आयत की अज्ञात भुजा या विकर्ण की लंबाई की गणना पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके की जाती है। एक आयत का क्षेत्रफल दो तरीकों से ज्ञात किया जा सकता है - उसकी भुजाओं के गुणनफल द्वारा या विकर्ण के माध्यम से आयत के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा। सबसे पहले और सबसे ज्यादा सरल सूत्रइस तरह दिखता है:

इस सूत्र का उपयोग करके एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण बहुत सरल है। दो भुजाओं को जानकर, उदाहरण के लिए a = 3 सेमी, b = 5 सेमी, हम आसानी से आयत के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:
हम पाते हैं कि ऐसे आयत का क्षेत्रफल 15 वर्ग मीटर के बराबर होगा। सेमी।

विकर्णों के माध्यम से एक आयत का क्षेत्रफल

कभी-कभी आपको विकर्णों के माध्यम से आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए न केवल विकर्णों की लंबाई, बल्कि उनके बीच के कोण का भी पता लगाना आवश्यक है:

आइए विकर्णों का उपयोग करके एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण देखें। मान लीजिए कि विकर्ण d = 6 सेमी और कोण = 30° वाला एक आयत दिया गया है। हम डेटा को पहले से ज्ञात सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

तो, विकर्ण के माध्यम से एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के उदाहरण से हमें पता चला कि यदि कोई कोण दिया गया है, तो इस तरह से क्षेत्रफल ज्ञात करना काफी सरल है।
आइए एक और दिलचस्प समस्या पर नजर डालें जो हमें अपने दिमाग को थोड़ा फैलाने में मदद करेगी।

काम:एक वर्ग दिया गया. इसका क्षेत्रफल 36 वर्ग मीटर है। सेमी. एक आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी एक भुजा की लंबाई 9 सेमी है और जिसका क्षेत्रफल ऊपर दिए गए वर्ग के समान है।
इसलिए हमारी कई शर्तें हैं. स्पष्टता के लिए, आइए सभी ज्ञात और अज्ञात मापदंडों को देखने के लिए उन्हें लिखें:
आकृति की भुजाएँ समान्तर और जोड़े में बराबर हैं। इसलिए, आकृति का परिमाप भुजाओं की लंबाई के योग के दोगुने के बराबर है:
एक आयत के क्षेत्रफल के सूत्र से, जो आकृति की दोनों भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, हम भुजा b की लंबाई ज्ञात करते हैं
यहाँ से:
हम ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और भुजा b की लंबाई ज्ञात करते हैं:
आकृति की परिधि की गणना करें:
इस प्रकार, कुछ सरल सूत्रों को जानकर, आप एक आयत का क्षेत्रफल जानकर, उसकी परिधि की गणना कर सकते हैं।

आयतएक चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है।

सबूत

संपत्ति को समांतर चतुर्भुज की विशेषता 3 की क्रिया द्वारा समझाया गया है (अर्थात्, \कोण A = \कोण C , \कोण B = \कोण D )

2. सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

एबी = सीडी,\एनस्पेस बीसी = एडी

3. सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं।

एबी \समानांतर सीडी,\एनस्पेस बीसी \समानांतर एडी

4. आसन्न भुजाएँ एक दूसरे पर लम्बवत् हैं।

एबी \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. आयत के विकर्ण बराबर हैं।

एसी = बीडी

सबूत

के अनुसार संपत्ति 1आयत एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है AB = CD।

इसलिए, दो पैरों पर \त्रिकोण ABD = \त्रिकोण DCA (AB = CD और AD - जोड़)।

यदि दोनों आकृतियाँ ABC और DCA समान हैं, तो उनके कर्ण BD और AC भी समान हैं।

तो एसी = बीडी.

सभी आकृतियों में से (केवल समांतर चतुर्भुज की!), केवल आयत के विकर्ण समान होते हैं।

आइए इसे भी साबित करें.

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है \दायाँ तीर AB = CD, AC = BD शर्त के अनुसार। \दायाँ तीर \त्रिकोण ABD = \त्रिकोण DCAपहले से ही तीन तरफ.

इससे पता चलता है कि \कोण A = \कोण D (एक समांतर चतुर्भुज के कोणों की तरह)। और \कोण A = \कोण C , \कोण B = \कोण D .

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं \कोण ए = \कोण बी = \कोण सी = \कोण डी. वे सभी 90^(\circ) हैं। कुल मिलाकर - 360^(\circ) .

सिद्ध किया हुआ!

6. एक विकर्ण का वर्ग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

यह गुण पाइथागोरस प्रमेय के कारण सत्य है।

AC^2=AD^2+CD^2

7. विकर्ण आयत को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।

\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी, \एनस्पेस \त्रिकोण एबीडी = \त्रिकोण बीसीडी

8. विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें आधे में विभाजित करता है।

एओ = बीओ = सीओ = डीओ

9. विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु आयत और परिवृत्त का केंद्र है।

10. सभी कोणों का योग 360 डिग्री होता है।

\कोण एबीसी + \कोण बीसीडी + \कोण सीडीए + \कोण डीएबी = 360^(\circ)

11. एक आयत के सभी कोण समकोण होते हैं।

\कोण एबीसी = \कोण बीसीडी = \कोण सीडीए = \कोण डीएबी = 90^(\circ)

12. एक आयत के चारों ओर बने वृत्त का व्यास आयत के विकर्ण के बराबर होता है।

13. आप हमेशा एक आयत के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं।

यह गुण इस तथ्य के कारण सत्य है कि एक आयत के विपरीत कोणों का योग 180^(\circ) होता है

\कोण एबीसी = \कोण सीडीए = 180^(\circ),\enspace \कोण बीसीडी = \कोण डीएबी = 180^(\circ)

14. एक आयत में एक खुदा हुआ वृत्त हो सकता है और केवल एक ही यदि इसकी भुजाओं की लंबाई समान हो (यह एक वर्ग है)।

एक आयत का विकर्ण ज्ञात करने की समस्या को तीन तरीकों से तैयार किया जा सकता है: अलग - अलग तरीकों से. आइए उनमें से प्रत्येक पर करीब से नज़र डालें। विधियाँ ज्ञात डेटा पर निर्भर करती हैं, तो आप एक आयत का विकर्ण कैसे ज्ञात करते हैं?

यदि दो पक्ष ज्ञात हों

उस स्थिति में जब आयत की दो भुजाएँ a और b ज्ञात हों, विकर्ण ज्ञात करने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है: a 2 + b 2 =c 2, यहाँ a और b समकोण त्रिभुज के पैर हैं, c समकोण त्रिभुज का कर्ण है. जब किसी आयत में एक विकर्ण खींचा जाता है, तो वह दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है। हम इस समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (a और b) जानते हैं। अर्थात्, किसी आयत का विकर्ण ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र की आवश्यकता होती है: c=√(a 2 +b 2), यहाँ c आयत के विकर्ण की लंबाई है।

ज्ञात भुजा और कोण से, भुजा और विकर्ण के बीच

मान लीजिए कि आयत a की भुजा और आयत α के विकर्ण के साथ बनने वाला कोण ज्ञात है। सबसे पहले, आइए कोज्या सूत्र याद रखें: cos α = a/c, यहां c आयत का विकर्ण है। इस सूत्र से एक आयत के विकर्ण की गणना कैसे करें: c = a/cos α।

किसी ज्ञात भुजा के अनुदिश, आयत की आसन्न भुजा और विकर्ण के बीच का कोण।

चूँकि एक आयत का विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है, इसलिए साइन की परिभाषा की ओर मुड़ना तर्कसंगत है। साइन इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है। यहां से हम एक आयत का विकर्ण ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करते हैं, जो एक समकोण त्रिभुज का कर्ण भी है: c = b/sin α।

अब आप इस मामले में समझदार हो गए हैं. आप कल अपने ज्यामिति शिक्षक को खुश कर सकते हैं!

सामग्री:

विकर्ण एक रेखाखंड है जो एक आयत के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। एक आयत में दो समान विकर्ण होते हैं। यदि किसी आयत की भुजाएँ ज्ञात हैं, तो विकर्ण को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है क्योंकि विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि भुजाएँ नहीं दी गई हैं, लेकिन अन्य मात्राएँ ज्ञात हैं, जैसे क्षेत्रफल और परिधि या पहलू अनुपात, तो आप आयत की भुजाएँ पा सकते हैं और फिर विकर्ण की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

कदम

1 पक्षों पर

1. 1 पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।सूत्र: ए 2 + बी 2 = सी 2
2. 2 पक्षों के मानों को सूत्र में रखें।वे समस्या में दिए गए हैं या उन्हें मापने की आवश्यकता है। पार्श्व मानों को 3 के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है
   • हमारे उदाहरण में:
     4 2 + 3 2 = सी 2 4

     2 क्षेत्रफल और परिधि के अनुसार

     1. 1 सूत्र: S = l w (चित्र में, S के स्थान पर पदनाम A का प्रयोग किया गया है।)
     2. 2 यह मान S 3 के लिए प्रतिस्थापित किया गया है w 4 को अलग करने के लिए सूत्र को फिर से लिखें एक आयत की परिधि की गणना करने का सूत्र लिखिए।सूत्र: पी = 2 (डब्ल्यू + एल)
     3. 5 आयत की परिधि को सूत्र में रखें।यह मान P 6 के लिए प्रतिस्थापित किया गया है समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें.आपको आयत की भुजाओं का योग अर्थात् w + l 7 प्राप्त होगा सूत्र में w 8 की गणना करने के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें अंश से छुटकारा पाएं.ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को l 9 से गुणा करें समीकरण को 0 के बराबर सेट करें.ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों ओर से प्रथम-क्रम चर पद घटाएँ।
        • हमारे उदाहरण में:
          12 एल = 35 + एल 2 10 समीकरण के पदों को क्रमबद्ध करें।पहला पद दूसरे क्रम का परिवर्तनशील पद होगा, फिर पहले क्रम का परिवर्तनशील पद होगा, और फिर मुक्त पद होगा। साथ ही, सदस्यों के सामने आने वाले चिह्नों ("प्लस" और "माइनस") के बारे में भी न भूलें। ध्यान दें कि समीकरण को द्विघात समीकरण के रूप में लिखा जाएगा।
          • हमारे उदाहरण में 0 = 35 + एल 2 − 12 एल 11
            • हमारे उदाहरण में, समीकरण 0 = l 2 - 12 l + 35 12 है एल 13 खोजें पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।सूत्र: ए 2 + बी 2 = सी 2
              • पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें क्योंकि एक आयत का प्रत्येक विकर्ण इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसके अलावा, आयत की भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, और आयत का विकर्ण त्रिभुज का कर्ण है।
            • 14 इन मानों को 15 के स्थान पर प्रतिस्थापित किया गया है लंबाई और चौड़ाई का वर्ग करें, और फिर परिणाम जोड़ें।याद रखें कि जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो वह अपने आप गुणा हो जाती है।
              • हमारे उदाहरण में:
                5 2 + 7 2 = सी 2 16 समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें.शीघ्रता से वर्गमूल ज्ञात करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं। आपको सी मिलेगी

                3 क्षेत्रफल और पहलू अनुपात के अनुसार

                1. 1 भुजाओं के अनुपात को दर्शाने वाला एक समीकरण लिखिए।एल 2 को अलग करें एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।सूत्र: S = l w (चित्र में, S के स्थान पर पदनाम A का प्रयोग किया गया है।)
                   • यह विधि तब भी लागू होती है जब आयत का परिमाप ज्ञात हो, लेकिन तब आपको क्षेत्रफल की नहीं, बल्कि परिमाप की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। एक आयत की परिधि की गणना करने का सूत्र: P = 2 (w + l)
                2. 3 आयत के क्षेत्रफल को सूत्र में रखें।यह मान S 4 के लिए प्रतिस्थापित किया गया है सूत्र में, पार्टियों के संबंधों को दर्शाने वाली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें।एक आयत के मामले में, आप l 5 की गणना के लिए एक अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित कर सकते हैं एक द्विघात समीकरण लिखिए.ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलें और समीकरण को शून्य के बराबर सेट करें।
                   • हमारे उदाहरण में:
                     35 = w(w+2)6 द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें.पाने के विस्तृत निर्देश, पढ़ना।
                     • हमारे उदाहरण में, समीकरण 0 = w 2 - 12 w + 35 7 है डब्ल्यू 8 खोजें पहलू अनुपात को दर्शाने वाले समीकरण में पाई गई चौड़ाई (या लंबाई) को प्रतिस्थापित करें।इस प्रकार आप आयत का दूसरा पक्ष ज्ञात कर सकते हैं।
                       • उदाहरण के लिए, यदि आप गणना करते हैं कि एक आयत की चौड़ाई 5 सेमी है और पहलू अनुपात समीकरण l = w + 2 9 द्वारा दिया गया है पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।सूत्र: ए 2 + बी 2 = सी 2
                         • पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें क्योंकि एक आयत का प्रत्येक विकर्ण इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसके अलावा, आयत की भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, और आयत का विकर्ण त्रिभुज का कर्ण है।
                       • 10 सूत्र में लंबाई और चौड़ाई मान रखें।इन मानों को 11 के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है लंबाई और चौड़ाई का वर्ग करें, और फिर परिणाम जोड़ें।याद रखें कि जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो वह अपने आप गुणा हो जाती है।
                         • हमारे उदाहरण में:
                           5 2 + 7 2 = सी 2 12 समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें.वर्गमूल शीघ्रता से ज्ञात करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं। आपको c (डिस्प्लेस्टाइल c) मिलेगा, यानी, त्रिभुज का कर्ण, और इसलिए आयत का विकर्ण।
                           • हमारे उदाहरण में:
                             74 = सी 2 (प्रदर्शन शैली 74=सी^(2))
                             74 = c 2 (displaystyle (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = सी (डिस्प्लेस्टाइल 8,6024=सी)
                             इस प्रकार, एक आयत का विकर्ण जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से 2 सेमी अधिक है और जिसका क्षेत्रफल 35 सेमी 2 है, लगभग 8.6 सेमी है।