एक हार्ड ड्राइव युक्त स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणाली की गणना। बलों की विधि द्वारा स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना। मैट्रिक्स रूप में बल विधि का उपयोग करके स्थिर रूप से अनिश्चित रॉड सिस्टम की गणना

स्थैतिक रूप से अनिश्चित छड़ें और छड़ प्रणालियाँ वे हैं जिनमें प्रतिक्रियाशील कारक और आंतरिक बल केवल संतुलन समीकरणों से निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं। इन प्रणालियों को स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री के अनुसार वर्गीकृत किया गया है। स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या और संतुलन समीकरणों की संख्या के बीच का अंतर है। सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री अतिरिक्त समीकरणों (विस्थापन के समीकरण) की संख्या निर्धारित करती है जिन्हें स्थैतिक अनिश्चितता का खुलासा करते समय संकलित किया जाना चाहिए।

सांख्यिकीय रूप से निर्धारित रॉड प्रणालियों में, बल केवल बाहरी भार की कार्रवाई से उत्पन्न होते हैं। सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित रॉड सिस्टम में, बल न केवल बाहरी भार से उत्पन्न होते हैं, बल्कि सिस्टम के व्यक्तिगत तत्वों के निर्माण में अशुद्धि, सिस्टम तत्वों के तापमान में परिवर्तन आदि के परिणामस्वरूप भी उत्पन्न होते हैं। जब सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों के संयोजन के दौरान छड़ों के वास्तविक अनुदैर्ध्य आयाम नाममात्र (गणना किए गए) आयामों से विचलित हो जाते हैं, तो अतिरिक्त तथाकथित स्थापना बल और तनाव उत्पन्न होते हैं। जब एक स्थिर रूप से अनिश्चित रॉड प्रणाली का तापमान बदलता है, तो इसके तत्वों में अतिरिक्त तथाकथित तापमान बल और तनाव उत्पन्न होते हैं।

स्थिर रूप से अनिश्चित छड़ों और छड़ प्रणालियों की गणना निम्नलिखित विधि का उपयोग करके की जाती है।

1. बन्धन योजना का विश्लेषण किया जाता है और रॉड सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित की जाती है।

2. समस्या के स्थैतिक पक्ष पर विचार किया जाता है, अर्थात्। संतुलन समीकरण तैयार किये जाते हैं।

3. समस्या के ज्यामितीय पक्ष का विश्लेषण किया जाता है। सिस्टम को विकृत अवस्था में माना जाता है, और सिस्टम के व्यक्तिगत तत्वों की विकृतियों या गतिविधियों के बीच संबंध स्थापित किया जाता है। परिणामी समीकरण विस्थापन (विरूपण) की अनुकूलता के समीकरण हैं। विस्थापन (विरूपण) की अनुकूलता के लिए समीकरणों की संख्या प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री के बराबर है।

4. समस्या के भौतिक पक्ष पर विचार किया जाता है। आर हुक के नियम के आधार पर, सिस्टम तत्वों के विस्थापन या विरूपण को उनमें कार्यरत आंतरिक बलों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, और इसे ध्यान में रखते हुए, विस्थापन की अनुकूलता के समीकरण विस्तारित रूप में लिखे जाते हैं।

5. विस्तारित रूप में संतुलन और विस्थापन की अनुकूलता के समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करके, अज्ञात प्रतिक्रियाएं निर्धारित की जाती हैं, अर्थात। रॉड प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता का पता चला है।

6. ताकत और कठोरता के लिए आगे की गणना सांख्यिकीय रूप से निर्धारित प्रणालियों की गणना के समान है।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित छड़ों और छड़ प्रणालियों को हल करने की तकनीक को विभिन्न समस्याओं को हल करने के उदाहरणों का उपयोग करके दिखाया गया है।

उदाहरण 1.एक सीढ़ीदार छड़, दोनों तरफ से जकड़ी हुई, बलों से भरी हुई है एफ(चित्र 10, ए)। छड़ की स्थैतिक अनिश्चितता को प्रकट करने और क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र निर्धारित करने के लिए यह आवश्यक है।

इनपुट डेटा: रॉड सेक्शन की लंबाई एल , रॉड का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र एछड़ सामग्री के अनुदैर्ध्य लोच का मापांक ई, अनुमेय तनाव .

निर्दिष्ट रॉड प्रणाली.

1. छड़ पर बाहरी बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, दो समर्थन प्रतिक्रियाएँ R 1 और R 2 उत्पन्न होती हैं। एक फ्लैट रॉड प्रणाली के लिए संतुलन समीकरण एक से बना हो सकता है, इसलिए रॉड एक बार स्थिर रूप से अनिश्चित होती है (चित्र 10.6)।

2. समस्या के स्थिर पक्ष पर विचार किया जाता है। एक डिज़ाइन योजना का चयन किया जाता है (चित्र 10.6) और एक संतुलन समीकरण तैयार किया जाता है:

3. छड़ की विकृति की स्थिति और समस्या के ज्यामितीय पक्ष का विश्लेषण किया जाता है, और विस्थापन की अनुकूलता के लिए एक समीकरण संकलित किया जाता है।

4. समस्या के भौतिक पक्ष पर विचार किया जाता है। परंपरागत रूप से यह मानते हुए कि प्रतिक्रियाएं आर 1 और आर 2 ज्ञात हैं, क्षेत्रों में सामान्य बल निर्धारित किए जाते हैं

आर. हुक के नियम के आधार पर, प्रत्येक अनुभाग में विस्थापन के लिए अभिव्यक्तियाँ लिखी जाती हैं, और फिर विस्थापन की अनुकूलता के लिए एक समीकरण विस्तारित रूप में संकलित किया जाता है:

चित्र 10. निर्दिष्ट छड़, छड़ का डिज़ाइन आरेख, सामान्य बल, सामान्य तनाव और विस्थापन के आरेख

5. विस्तारित रूप में संतुलन समीकरण और विस्थापन संगतता समीकरण का संयुक्त समाधान हमें अज्ञात प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है छड़ की स्थैतिक अनिश्चितता का पता चलता है।

6. आरेख N z, σ z, δ का निर्माण किया जाता है (चित्र 10)। मजबूती की स्थिति लिखी है

और रॉड का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र निर्धारित किया जाता है

उदाहरण 2.एक बिल्कुल कठोर बीम छड़ों से टिका होता है और एक धुरी पर स्थिर समर्थन पर टिका होता है (चित्र 11, ए)। बीम पर एक बल F लगाया जाता है, यह रॉड प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता को प्रकट करने और अनुमेय बल [F] के परिमाण को निर्धारित करने के लिए आवश्यक है।

प्रारंभिक डेटा: छड़ों की लंबाई और बीम अनुभागों की लंबाई अंशों में दी गई है ए, छड़ों का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र A 1 = 2A और A 2 = A, छड़ों की सामग्री की लोच का मापांक E, अनुमेय तनाव।

चित्र.11ए चित्र. 11, बी

1. एक दी गई रॉड प्रणाली एक बार स्थिर रूप से अनिश्चित होती है, क्योंकि चार अज्ञात प्रतिक्रियाएं होती हैं - एच, आर, आर 1, आर 2, और बलों की एक समतल प्रणाली के लिए तीन संतुलन समीकरण होते हैं।

2. समस्या के स्थिर पक्ष पर विचार किया गया है (चित्र 11.6)। संतुलन समीकरण संकलित किये गये हैं

3. समस्या के ज्यामितीय पक्ष का विश्लेषण किया जाता है (चित्र 11, सी) और आंदोलनों की अनुकूलता के लिए एक समीकरण तैयार किया जाता है। त्रिभुजों की समानता से हमें प्राप्त होता है:

4. समस्या के भौतिक पक्ष पर विचार किया जाता है। आर. हुक के नियम के आधार पर विकृतियों की अभिव्यक्ति निर्धारित की जाती है , और फिर विस्थापन अनुकूलता समीकरण को विस्तारित रूप में लिखा गया है:

5. संतुलन समीकरणों का संयुक्त समाधान और विस्थापन की अनुकूलता का विस्तारित समीकरण बाहरी भार के माध्यम से छड़ों में बलों के परिमाण को निर्धारित करना संभव बनाता है एन 1=0.442पी, एन 2= 0.552आर. सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता का पता चलता है।

छड़ की मजबूती की स्थिति से I

अनुमेय भार के बराबर है

रॉड II की ताकत की स्थिति से

अनुमेय भार के बराबर है

हम अंततः रॉड प्रणाली के लिए एक छोटा मूल्य स्वीकार करते हैं। इस मामले में, दूसरी छड़ में ऑपरेटिंग तनाव अनुमेय के बराबर होगा, और पहली छड़ अंडरलोड होगी।

आत्म-परीक्षण के लिए प्रश्न और कार्य,

1. किन छड़ों और छड़ प्रणालियों को स्थैतिक रूप से अनिश्चितकालीन कहा जाता है?

2. स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री कैसे निर्धारित की जाती है?

3. विस्थापन अनुकूलता समीकरण क्या हैं?

4. किन बलों और तनावों को अधिष्ठापन कहा जाता है?

5. किन बलों और तनावों को तापमान कहा जाता है?

6. तनाव (संपीड़न) के तहत स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणालियों की ताकत और कठोरता के लिए गणना के मुख्य चरणों की सूची बनाएं।

गणना और डिजाइन कार्य के लिए विकल्प

तन्यता (संपीड़न) में मजबूती और कठोरता के लिए स्थिर रूप से अनिर्धारित छड़ों और रॉड प्रणालियों की गणना

एक बिल्कुल कठोर बीम K, जो F; बल से भरी हुई है, लंबाई की स्टील की छड़ों द्वारा संतुलन में रखी जाती है एसएचऔर समर्थन उपकरणों के माध्यम से सुरक्षित है। एक डिज़ाइन गणना करना आवश्यक है (छड़ के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों का पता लगाएं)।

अंतिम अंक सर्किट संख्या से मेल खाता है (चित्र 12...14)।

ये विकल्प तालिका 3 में दिखाए गए हैं।

गणना में, लें: P = 10 kN.

तालिका 3. आरपीआर कार्य के लिए डेटा

स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनमें आंतरिक बलों को केवल संतुलन समीकरणों (स्थैतिक समीकरण) से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित निर्माण तथाकथित हैं अतिरिक्तसंचार. वे समर्थन, छड़ और अन्य तत्वों में हो सकते हैं। ऐसे कनेक्शनों को "अनावश्यक" कहा जाता है क्योंकि वे संरचना के संतुलन को सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक नहीं हैं, बल्कि इसकी ताकत और कठोरता की आवश्यकताओं से निर्धारित होते हैं। ऐसे अतिरिक्त कनेक्शन कहलाते हैं बाहरी।इसके अलावा, डिज़ाइन की ख़ासियतों के कारण अनावश्यक कनेक्शन उत्पन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक बंद फ़्रेम समोच्च (चित्र 46, जी)प्रत्येक अनुभाग में तीन अज्ञात आंतरिक बल हैं, अर्थात। कुल मिलाकर छह हैं, और उनमें से तीन "अतिरिक्त" हैं। इसी अतिरिक्त प्रयास को कहते हैं आंतरिक।बाहरी या आंतरिक "अतिरिक्त" कनेक्शन की संख्या के आधार पर, वे स्थापित करते हैं सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री।यह निर्धारित किए जाने वाले अज्ञातों की संख्या और स्थिर समीकरणों की संख्या के बीच अंतर के बराबर है। एक "अतिरिक्त" अज्ञात के साथ, सिस्टम को एक बार कहा जाता है, या एक बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित, दो के साथ - दो बार स्थिर रूप से अनिश्चित, आदि।

चित्र में दिखाया गया डिज़ाइन। 46, ए, एक बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है, और चित्र में दिखाई गई संरचनाएं। 46, बीऔर वी, -चित्र में दो बार स्थिर रूप से अनिश्चित। 46, जी - स्थैतिक रूप से अनिश्चित संरचना के साथ तीन बार।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित समस्याओं को हल करते समय, स्थैतिक समीकरणों के अलावा, समीकरणों का उपयोग किया जाता है जो संरचनात्मक तत्वों की विकृतियों को ध्यान में रखते हैं।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित समस्याओं को हल करने के लिए कई विधियाँ हैं: विस्थापन तुलना विधि, बल विधि, विस्थापन विधि।

बल विधि

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना करते समय, बलों को अज्ञात के रूप में लिया जाता है।

द्वारा गणना बल विधिनिम्नलिखित क्रम में किया गया:

• 1. स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री स्थापित करें।
• 2. "अतिरिक्त" कनेक्शन को हटाकर, मूल सिस्टम को एक स्थिर रूप से परिभाषित कनेक्शन से बदलें, जिसे कहा जाता है मुख्य प्रणाली.ऐसी कई प्रणालियाँ बनाई जा सकती हैं, उनकी भौगोलिक स्थिति को देखते हुए

मीट्रिक अपरिवर्तनीयता.

• 3. मुख्य प्रणाली दिए गए बाहरी बलों और "अतिरिक्त" अज्ञात बलों से भरी हुई है जो दूरस्थ कनेक्शन की कार्रवाई को प्रतिस्थापित करती है, जिसके परिणामस्वरूप समतुल्य प्रणाली.
• 4. मूल और मुख्य प्रणालियों की समानता सुनिश्चित करने के लिए, अज्ञात बलों का चयन किया जाना चाहिए ताकि मुख्य प्रणाली की विकृतियाँ मूल सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली की विकृतियों से भिन्न न हों। अनुप्रयोग बिंदुओं के इस संचलन के लिए, उनकी कार्रवाई की दिशा में "अतिरिक्त" अज्ञात शून्य के बराबर हैं। इस प्रकार प्राप्त अतिरिक्त समीकरणों से "अतिरिक्त" अज्ञात प्रयासों के मान निर्धारित किये जाते हैं। संबंधित बिंदुओं के विस्थापन का निर्धारण किसी भी तरह से किया जा सकता है, लेकिन सबसे सामान्य मोहर विधि का उपयोग करना बेहतर है।
• 5. "अतिरिक्त" अज्ञात बलों के मूल्यों को निर्धारित करने के बाद, प्रतिक्रियाएं निर्धारित की जाती हैं और आंतरिक बलों के चित्र बनाए जाते हैं, अनुभागों का चयन किया जाता है और सामान्य तरीके से ताकत की जांच की जाती है।

बल विधि के विहित समीकरण

विस्थापन के अतिरिक्त समीकरण, "अतिरिक्त" अज्ञात की दिशाओं में विस्थापन के शून्य की समानता को व्यक्त करते हुए, तथाकथित में आसानी से संकलित किए जाते हैं कानूनी फॉर्म,वे। एक निश्चित पैटर्न के अनुसार. आइए हम इसे सरलतम सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके दिखाएं (चित्र 47, ए)।

आइए हिंज सपोर्ट को छोड़कर कंसोल को मुख्य सिस्टम के रूप में चुनें। हम इसके बाहरी बल T 7 और "अतिरिक्त" अज्ञात को लागू करने के बाद एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त करते हैं एक्स(चित्र 47, बी)।

विहित समीकरण, बिंदु विस्थापन की समानता को शून्य तक व्यक्त करना मेंएफ की ताकतों से एक्स,इच्छा

हमारे पास जो समीकरण है उससे

ऐसी प्रणाली के लिए जिसमें दो "अतिरिक्त" कनेक्शन हैं, विहित समीकरणों की प्रणाली का रूप इस प्रकार है:

• 8 11 एक्स 1 + बी 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "मैं" ^20-

आंदोलनों ए[आरऔर विहित समीकरणों में शामिल b[y, मोहर की विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

रेक्टिलिनियर तत्वों से युक्त प्रणालियों के लिए, वीरशैचिन की विधि का उपयोग करके विस्थापन की गणना करना सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाई गई समस्या के लिए। 47, आरेखों को गुणा करने पर (चित्र 48), हमें विहित समीकरण के गुणांक प्राप्त होते हैं:

1 2 मैं 3 1 मैं/मैं 2 1 5 मैं1 3

ई]बी एलएल =-/ / -/ = -, ई]ए एलआर =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 ई]

हम पाते हैं एचएल - - = - ई.

ताकत का निर्धारण करने के बाद एक्स,हमें वास्तव में समर्थन प्रतिक्रिया मिली मैं भी शामिल।इसके बाद, आंतरिक बल कारकों को निर्धारित करने की समस्या को, हमेशा की तरह, अनुभाग विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, कुछ रॉड प्रणालियों की गणना करते समय उनमें बलों को निर्धारित करने के लिए, केवल स्थैतिक समीकरणों का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है, बल्कि अतिरिक्त समीकरणों - विरूपण (विस्थापन) के समीकरणों को संकलित करना आवश्यक है। ऐसी प्रणालियों को स्थैतिक रूप से अनिश्चित कहा जाता है।

यह अध्याय समतल स्थैतिक रूप से अनिश्चित रॉड प्रणालियों की गणना पर चर्चा करता है। स्थानिक स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना भी समान तरीकों का उपयोग करके की जाती है।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियों की एक विशिष्ट विशेषता (स्थैतिक रूप से निर्धारित प्रणालियों के विपरीत) यह है कि उनमें बलों का वितरण न केवल बाहरी ताकतों पर निर्भर करता है, बल्कि व्यक्तिगत तत्वों के अनुप्रस्थ आयामों के बीच संबंधों पर भी निर्भर करता है। यदि सिस्टम तत्व बने हैं विभिन्न सामग्रियां, तो बलों का वितरण इन सामग्रियों के लोचदार मॉड्यूल पर भी निर्भर करता है (देखें § 9.2)।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणाली की गणना उसके सर्किट के विश्लेषण से शुरू होती है। स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री स्थापित करने के लिए विश्लेषण मुख्य रूप से आवश्यक है।

स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री अनावश्यक कनेक्शनों की संख्या के बराबर होती है, जिसे हटाने से एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली एक स्थिर रूप से परिभाषित, ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली में बदल जाती है।

एक प्रणाली जिसका ट्रस केवल उसके तत्वों की विकृति के कारण बदल सकता है, ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय कहलाती है।

एक सांख्यिकीय रूप से निर्धारित प्रणाली में एक भी अतिरिक्त कनेक्शन नहीं होता है; इसमें से कम से कम एक कनेक्शन हटाने से यह एक ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील प्रणाली में बदल जाता है, यानी, एक तंत्र में।

चित्र में दिखाया गया किरण। 1.12, ए, एक ऐसी प्रणाली है जो एक बार (या एक बार) स्थिर रूप से अनिश्चित होती है, क्योंकि समर्थन छड़ों में से एक बीम और समर्थन (आधार के साथ) के बीच एक अतिरिक्त (अनावश्यक) कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।

समर्थन छड़ों में से एक को हटाकर (चित्र 1.12, बी) या बीम में एक काज को शामिल करके (चित्र 1.12, सी), हम एक सांख्यिकीय रूप से परिभाषित, ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली प्राप्त करते हैं।

एक प्रणाली जिसमें कई तत्व (सीधे या घुमावदार), कठोरता से (बिना टिका के) एक दूसरे से जुड़े होते हैं और एक बंद सर्किट बनाते हैं, एक बंद लूप कहा जाएगा।

चित्र में दिखाया गया आयताकार फ्रेम। 2.12, i, एक बंद लूप है। यह स्थिर रूप से तीन गुना अनिश्चित है, क्योंकि इसे स्थिर रूप से निश्चित में बदलने के लिए यह आवश्यक है, उदाहरण के लिए, इसके तत्वों में से एक को काटना (चित्र 2.12, बी) और इस तरह तीन अनावश्यक कनेक्शन को खत्म करना। इन कनेक्शनों की प्रतिक्रियाएं अनुदैर्ध्य बल, अनुप्रस्थ बल और कट स्थल पर अभिनय करने वाला झुकने वाला क्षण हैं; उन्हें स्थैतिक समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। समान परिस्थितियों में, स्थैतिक अनिश्चितता के अर्थ में, कोई भी बंद रूपरेखा होती है जो हमेशा स्थिर रूप से तीन गुना अनिश्चित होती है।

एक बंद लूप वाली संरचना का एक उदाहरण चित्र में दिखाई गई प्रणाली भी है। 3.12, ए. चित्र में दिखाया गया काज रहित फ्रेम भी एक बंद समोच्च है। 3.12, बी; यह नीचे से पृथ्वी द्वारा सीमित है, जिसे एक असीम रूप से कठोर छड़ माना जा सकता है।

चित्र में दिखाए गए फ़्रेम संरचना में। 4.12, ए, ऊपरी समोच्च एक काज से सुसज्जित है; इस काज के साथ खींचे गए खंड में, केवल दो आंतरिक बल कार्य करते हैं: एन और क्यू (चित्र 4.12, बी)। ऐसा समोच्च दो बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित होता है। यदि हम पूरे सिस्टम को संपूर्ण मानते हैं, तो यह सांख्यिकीय रूप से पांच बार अनिश्चित है, क्योंकि फ्रेम का निचला समोच्च बंद है और इसलिए, तीन बार अनिश्चित है।

अनावश्यक कनेक्शनों से मुक्त प्रणाली की कल्पना क्षैतिज कंसोल (छवि 4.12, बी) के साथ नीचे की ओर पिन की गई दो छड़ों से मिलकर की जा सकती है।

इस प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री का पता लगाने का एक और तरीका है। फ़्रेम का ऊपरी समोच्च, जिसमें एक आंतरिक काज है, दो बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है (दो अतिरिक्त कनेक्शन हैं)। इसके अलावा, प्रत्येक एंबेडमेंट समर्थन प्रतिक्रिया के तीन घटक (दो बल और एक क्षण) प्रदान करता है, यानी, फ्रेम पर छह बाहरी कनेक्शन लागू होते हैं, और एक फ्लैट सिस्टम के लिए केवल तीन स्थिर समीकरण संकलित किए जा सकते हैं। नतीजतन, तीन बाहरी कनेक्शन अतिश्योक्तिपूर्ण हैं, और कुल मिलाकर पांच अतिश्योक्तिपूर्ण कनेक्शन हैं, यानी, सिस्टम स्थिर रूप से पांच बार अनिश्चित है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान स्थिर रूप से अनिश्चित संरचना को स्थिर रूप से परिभाषित संरचना में बदलने के लिए अनावश्यक कनेक्शनों का उन्मूलन विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन छोड़े गए कनेक्शनों की संख्या हमेशा समान होती है। उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए सांख्यिकीय रूप से निर्धारित सिस्टम। 1.12, बी, सी, एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली से प्राप्त होते हैं (चित्र 1.12, ए देखें); एक - मध्यवर्ती समर्थन को हटाकर, और दूसरा - एक मध्यवर्ती काज स्थापित करके, यानी, उस कनेक्शन को हटाना जो पेश किए गए काज के दोनों किनारों पर स्थित बीम के हिस्सों के पारस्परिक घुमाव को रोकता है।

एक फ्रेम असेंबली में एक काज शामिल करना जहां दो छड़ें मिलती हैं, या इसे रॉड की धुरी पर कहीं भी स्थापित करने से एक कनेक्शन टूट जाता है (हट जाता है) और सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता की समग्र डिग्री एक से कम हो जाती है। हम ऐसे काज को एकल या साधारण कहेंगे।

सिस्टम कनेक्शन हटाते समय, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि परिणामी संरचना ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय है। इसलिए, चित्र में दिखाए गए फ्रेम में। 5.12, ए, एक अतिरिक्त समर्थन बन्धन होने पर, ऊर्ध्वाधर छड़ को हटाना गलत होगा (चित्र 5.12, बी), क्योंकि शेष तीन छड़ें फ्रेम को उस बिंदु के चारों ओर घूमने से नहीं रोक सकती हैं जिस पर उनकी कुल्हाड़ियाँ प्रतिच्छेद करती हैं।

अतिरिक्त छड़ को हटाने का सही विकल्प चित्र में दिखाया गया है। 5.12, बी.

जटिल आंतरिक गठन वाली संरचनाओं के लिए, स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित सामान्य तकनीक लागू की जा सकती है। इसका विचार यह है कि k छड़ों को जोड़ने वाले नोड में शामिल प्रत्येक काज स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री को कम कर देता है क्योंकि ऐसा काज एकल काज को प्रतिस्थापित करता है (चित्र 6.12, ए)। इसलिए, किसी संरचना के स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करने के लिए, बंद समोच्चों की संख्या को तीन गुना लेना आवश्यक है (यह मानते हुए कि सहायक समेत सभी टिकाएं कठोर कनेक्शनों द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं) और फिर इसे एकल की संख्या से कम करें डिज़ाइन में टिका शामिल है, यह ध्यान में रखते हुए कि एक सामान्य काज एकल टिका के बराबर है।

आइए इसे एक सूत्र के रूप में प्रस्तुत करें

सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री कहां है; - टिका हुआ जोड़ों की अनुपस्थिति मानते हुए संरचना में बंद लूपों की संख्या; - एकल टिका की संख्या; दो छड़ों को जोड़ने वाले काज को एक (एकल काज) माना जाता है, तीन छड़ों को जोड़ने वाले काज को दो एकल काज (डबल काज) माना जाता है, आदि।

चित्र में. 6.12, बी चित्र में एकल टिका दिखाता है। 6.12, सी - डबल, और चित्र में। 6.12, जी - ट्रिपल।

एक टिका हुआ स्थिर समर्थन (चित्र 6.12, ई) को संरचना को जमीन से जोड़ने वाले एकल काज के रूप में चित्रित किया जा सकता है (चित्र 6.12, एफ)। यदि ऐसा समर्थन एक सीधे या टूटे हुए संरचनात्मक तत्व को जमीन से जोड़ता है (चित्र 6.12, जी), तो इसे एक एकल काज के रूप में माना जाना चाहिए, यदि दो तत्व (चित्र 6.12, एच), तो एक डबल काज के रूप में, आदि .

आइए अब चित्र में दिखाए गए फ्रेम पर विचार करें। 7.12, ए. इस फ्रेम को एक बंद समोच्च के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें दो एकल टिकाएं डाली गई हैं (चित्र 7.12, बी)। सूत्र (1.12) के आधार पर इसकी स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री एकता के बराबर है:

चित्र में दिखाया गया फ्रेम। 7.12, सी, को दो बंद आकृतियों से युक्त माना जा सकता है जिसमें पांच एकल टिकाएं लगाई गई हैं (चित्र 7.12, डी)। नतीजतन, इस फ्रेम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री एकता के बराबर है:

आकृति में दिखाया गया सिस्टम। 7.12, डी, को तीन बंद आकृतियों के रूप में माना जा सकता है, जिसमें तीन सिंगल और एक डबल काज पेश किए गए हैं (दाएं रैक के बीच में)।

नतीजतन, यह प्रणाली चार गुना सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है:

यदि स्थैतिक रूप से निर्धारित प्रणाली में कोई भी कनेक्शन समाप्त हो जाता है, तो सिस्टम, जैसा कि उल्लेख किया गया है, ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील में बदल जाएगा। नतीजतन, एक सांख्यिकीय रूप से निर्धारित प्रणाली में इसकी संरचना में इतने सारे कनेक्शन शामिल होते हैं जो इसकी ज्यामितीय अपरिवर्तनीयता सुनिश्चित करने के लिए न्यूनतम आवश्यक है; अनावश्यक कनेक्शन (इस संख्या से परे) स्थिर अनिश्चितता पैदा करते हैं।

किसी भी स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली से कम से कम एक कनेक्शन को उसकी परिवर्तनशीलता का उल्लंघन किए बिना समाप्त किया जा सकता है; हालाँकि, कुछ कनेक्शनों को हटाने से एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली एक ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील प्रणाली में बदल सकती है। स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणाली के ऐसे कनेक्शन नितांत आवश्यक हैं। उनमें बलों को हमेशा केवल स्थैतिक समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

बिल्कुल आवश्यक कनेक्शन का एक उदाहरण चित्र में दिखाए गए फ्रेम की ऊर्ध्वाधर समर्थन छड़ें हैं। 5.12, ए; उनमें से एक को हटाने से फ़्रेम ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील हो जाता है।

कनेक्शन, जिन्हें हटाने से स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली को ज्यामितीय रूप से परिवर्तनीय में परिवर्तित नहीं किया जाता है, सशर्त रूप से आवश्यक कहलाते हैं। उनमें मौजूद बलों को केवल स्थैतिक समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जा सकता है। ऐसे कनेक्शन का एक उदाहरण चित्र में दिखाए गए फ्रेम की क्षैतिज समर्थन छड़ें हैं। 5.12, ए.

स्थैतिक रूप से अनिश्चित एक ऐसी प्रणाली है जिसकी गणना केवल स्थैतिक समीकरणों का उपयोग करके नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसमें अनावश्यक कनेक्शन हैं। ऐसी प्रणालियों की गणना करने के लिए, अतिरिक्त समीकरण संकलित किए जाते हैं जो सिस्टम की विकृतियों को ध्यान में रखते हैं।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियाँकई विशिष्ट विशेषताएं हैं:

1. स्थैतिक रूप से अनिश्चितसंरचनाएं संबंधित संरचनाओं की तुलना में अधिक कठोर होती हैं सांख्यिकीय रूप से निश्चित, क्योंकि उनके पास अतिरिक्त कनेक्शन हैं।
2. बी स्थैतिक रूप से अनिश्चितप्रणालियों में, कम आंतरिक बल उत्पन्न होते हैं, जो उनकी तुलना में उनकी दक्षता निर्धारित करता है सांख्यिकीय रूप से निश्चित समान बाहरी भार के तहत सिस्टम।
3. अनावश्यक कनेक्शन तोड़ना स्थैतिक रूप से अनिश्चितसिस्टम हमेशा विनाश का कारण नहीं बनता है, जबकि संचार का नुकसान होता है सांख्यिकीय रूप से निश्चितसिस्टम इसे ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील बनाता है।
4. गणना के लिए स्थैतिक रूप से अनिश्चितसिस्टम को पहले तत्वों के क्रॉस सेक्शन की ज्यामितीय विशेषताओं द्वारा निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात। वास्तव में, उनका आकार और आकार, चूंकि उनके परिवर्तन से कनेक्शन में बलों में बदलाव होता है और सिस्टम के सभी तत्वों में बलों का एक नया वितरण होता है।
5. गणना करते समय स्थैतिक रूप से अनिश्चितसिस्टम, निर्माण सामग्री का चयन पहले से करना आवश्यक है, क्योंकि इसके लोचदार मॉड्यूल को जानना आवश्यक है।
6. बी स्थैतिक रूप से अनिश्चितसिस्टम, तापमान प्रभाव, समर्थन का निपटान, विनिर्माण और स्थापना में अशुद्धियाँ अतिरिक्त बल का कारण बनती हैं।

मुख्य गणना के तरीकेस्थैतिक रूप से अनिश्चितसिस्टम हैं:

1. बल विधि. यहां, प्रयासों-बलों और क्षणों-को अज्ञात माना जाता है।
2.संचलन विधि.विरूपण कारक अज्ञात हैं - घूर्णन कोण और रैखिक विस्थापन।
3.मिश्रित विधि.यहां, अज्ञात का एक हिस्सा प्रयास का प्रतिनिधित्व करता है, और दूसरा हिस्सा विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।
4. संयुक्त विधि.असममित भार के लिए सममित प्रणालियों की गणना करते समय उपयोग किया जाता है। यह पता चला है कि किसी दिए गए भार के सममित घटक के लिए सिस्टम की गणना विस्थापन विधि का उपयोग करके और व्युत्क्रम सममित घटक के लिए बल विधि का उपयोग करके करने की सलाह दी जाती है।
उपरोक्त विश्लेषणात्मक तरीकों के अलावा, विशेष रूप से जटिल प्रणालियों की गणना करते समय विभिन्न संख्यात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है।

बल विधि के विहित समीकरण

पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए अतिरिक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए, आपको पहले दिए गए n को बार-बार बदलना होगा स्थैतिक रूप से अनिश्चितइसमें से अनावश्यक कनेक्शन हटाकर सिस्टम को स्थिर रूप से निर्धारित सिस्टम में बदल दिया गया है। परिणामी सांख्यिकीय रूप से परिभाषित प्रणाली को कहा जाता है बुनियादी।ध्यान दें कि किसी दिए गए सिस्टम को स्थैतिक रूप से निर्धारित करने योग्य सिस्टम में बदलना अनिवार्य नहीं है। कभी-कभी बल विधि में संशोधन का उपयोग किया जाता है, जिसमें मुख्य प्रणाली हो सकती है स्थैतिक रूप से अनिश्चितहालाँकि, इस मुद्दे की प्रस्तुति इस मैनुअल के दायरे से परे है। किसी भी कनेक्शन को हटाने से सिस्टम की आंतरिक ताकतों और विकृतियों में कोई बदलाव नहीं होता है यदि अतिरिक्त बल और क्षण उस पर लागू होते हैं, जो कि खारिज किए गए कनेक्शन की प्रतिक्रियाएं हैं। इसका मतलब यह है कि यदि किसी दिए गए लोड और रिमोट कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं को मुख्य सिस्टम पर लागू किया जाता है, तो मुख्य और दिए गए सिस्टम बन जाएंगे समकक्ष।

किसी दिए गए सिस्टम में, मौजूदा कठोर कनेक्शनों की दिशाओं में कोई हलचल नहीं हो सकती है, जिसमें वे कनेक्शन भी शामिल हैं जिन्हें मुख्य सिस्टम में संक्रमण के दौरान हटा दिया गया था, इसलिए, मुख्य सिस्टम में, हटाए गए कनेक्शनों की दिशाओं में गतिविधियां होनी चाहिए शून्य के बराबर. और इसके लिए, त्यागे गए बांडों की प्रतिक्रियाओं में कड़ाई से परिभाषित मूल्य होने चाहिए।

बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत के आधार पर छोड़े गए एन में से किसी भी आई-वें कनेक्शन की दिशा में शून्य विस्थापन की स्थिति का रूप है:

जहां पहला सूचकांक आंदोलन की दिशा और छोड़े गए कनेक्शन की संख्या को इंगित करता है, और दूसरा उस कारण को इंगित करता है जिसके कारण आंदोलन हुआ, यानी। k-वें बंधन की प्रतिक्रिया के कारण i-वें बंधन की दिशा में होने वाली गति है; - संपूर्ण बाहरी भार की एक साथ कार्रवाई के कारण आई-वें कनेक्शन की दिशा में गति।

बल विधि में, kवें बंधन की प्रतिक्रिया को आमतौर पर Xk द्वारा दर्शाया जाता है। इस पदनाम को ध्यान में रखते हुए और हुक के नियम की वैधता के कारण, विस्थापन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

प्रतिक्रिया के कारण आई-वें बंधन की दिशा में एक इकाई (या विशिष्ट) आंदोलन कहां है यानी एक प्रतिक्रिया Xk के साथ दिशा में मेल खाती है, लेकिन एकता के बराबर है।

(2) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

भौतिक अर्थसमीकरण (3): आई-वें खारिज किए गए कनेक्शन की दिशा में मुख्य प्रणाली में गति शून्य है।

छोड़े गए कनेक्शनों के पूरे सेट के लिए (3) के समान अभिव्यक्ति लिखने पर, हमें प्राप्त होता है विहित समीकरणों की प्रणालीबल विधि:

समीकरण का रूप (4), अर्थात उनमें से प्रत्येक में पदों की संख्या और उनके कुल गणना, केवल सिस्टम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री से निर्धारित होता है और इसकी विशिष्ट विशेषताओं पर निर्भर नहीं होता है।

विहित समीकरणों (4) की प्रणाली के गुणांक संबंधित आरेखों को गुणा करके मोहर-वीरशैचिन विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। ये सभी गुणांक, जैसा कि ऊपर कहा गया है, विस्थापन का प्रतिनिधित्व करते हैं; अज्ञात से जुड़े गुणांक इकाई विस्थापन हैं, और मुक्त पद हैं परिवहन।इकाई आंदोलनों को विभाजित किया गया है मुख्य,मुख्य विकर्ण के अनुदिश स्थित है और समान सूचकांक रखता है ओर(). मुख्य गतिविधियाँ हमेशा सकारात्मक होती हैं, द्वितीयक गतिविधियों के विपरीत। विस्थापनों की पारस्परिकता के प्रमेय के अनुसार सममित रूप से स्थित विस्थापन एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात। .

बल विधि का उपयोग करके गणना एल्गोरिदम

विचाराधीन डिज़ाइन की विशेषताओं के बावजूद, सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों के लिए गणना के निम्नलिखित अनुक्रम को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: बल विधि:

1. परिभाषित करें स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री.
2. मुख्य प्रणाली का चयन करें.
3. एक समतुल्य प्रणाली का निर्माण करें।
4. सिस्टम रिकॉर्ड करें विहित समीकरण.
5. विचाराधीन संरचना के तत्वों में उत्पन्न होने वाले आंतरिक बल कारकों की इकाई और लोड आरेख बनाएं।
6. विहित समीकरणों की प्रणाली के अज्ञात और मुक्त पदों के गुणांकों की गणना करें।
7. कुल इकाई आरेख का निर्माण करें।
8. अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांकों की सार्वभौमिक जाँच करें।
9. सिस्टम को हल करें (4), यानी। अतिरिक्त कनेक्शनों की प्रतिक्रियाएँ निर्धारित करें।
10. किसी दिए गए सिस्टम के लिए उभरते आंतरिक बल कारकों के आरेख बनाएं (दूसरे शब्दों में, अंतिम आरेख)।
11. स्थैतिक और गतिक जांच करें।
ध्यान दें कि दिए गए एल्गोरिदम के बिंदु 7, 8, 11 बिल्कुल आवश्यक नहीं हैं, हालांकि वे आपको गणना की शुद्धता को नियंत्रित करने की अनुमति देते हैं। और एक अतिरिक्त कनेक्शन वाले सिस्टम के लिए, बिंदु 7 और 8 बिल्कुल अर्थहीन हैं, क्योंकि इस मामले में कुल इकाई आरेख इकाई एक के साथ मेल खाता है।
आइए हम उपरोक्त कुछ गणना चरणों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

एक प्राथमिक प्रणाली का चयन करना

यह गणना का सबसे महत्वपूर्ण चरण है, क्योंकि मुख्य प्रणाली का तर्कसंगत विकल्प कम्प्यूटेशनल कार्य को काफी सरल बनाता है। आइए विचार करें संभावित तरीकेअनावश्यक कनेक्शन हटाना, जो मुख्य प्रणाली के प्रकार को निर्धारित करता है।

1. अनावश्यक कनेक्शनों को हटाया जाता है पूर्ण निष्कासनकुछ समर्थन करते हैं या उन्हें कम कनेक्शन वाले समर्थन से प्रतिस्थापित करते हैं। छोड़े गए बांडों की दिशा में कार्य करने वाली प्रतिक्रियाएं अतिरिक्त अज्ञात हैं। चित्र 1, बी, सी, डी दिखाता है विभिन्न विकल्पफ़्रेम के लिए इस विधि द्वारा प्राप्त समतुल्य प्रणाली (चित्र 1, ए)।

2. छड़ों के मध्यवर्ती खंडों में टिका लगाने से ऐसे प्रत्येक खंड में झुकने के क्षण के अनुरूप कनेक्शन स्थापित करना संभव हो जाता है। ये क्षण अनावश्यक अज्ञात हैं। स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री n=3 (छवि 2, ए) वाले फ्रेम के लिए, मुख्य प्रणाली चुनते समय, तीन टिका स्थापित करना आवश्यक है। इन टिकाओं की स्थिति मनमानी हो सकती है, लेकिन सिस्टम की ज्यामितीय अपरिवर्तनीयता की आवश्यकता को पूरा करती है (चित्र 2, बी)।

3. रॉड को काटने से आंतरिक बलों एम, क्यू, एन (छवि 2, सी) के अनुरूप तीन कनेक्शन समाप्त हो जाते हैं। विशेष मामलों में (चित्र 2, डी), एक छड़ को काज के साथ काटने से दो कनेक्शन निकलते हैं (चित्र 2, ई), और एक सीधी छड़ को सिरों पर टिका के साथ काटने से एक कनेक्शन निकलता है (चित्र 2, एफ)।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणाली के कनेक्शनों के बीच, बिल्कुल आवश्यक और सशर्त रूप से आवश्यक के बीच अंतर किया जाता है। नितांत आवश्यक कनेक्शनों में वे कनेक्शन शामिल होते हैं, जो हटाए जाने पर सिस्टम को ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील बनाते हैं। एक बिल्कुल आवश्यक कनेक्शन को इसमें प्रयास की स्थिर निर्धारणीयता की विशेषता है, यानी। ऐसे बंधन की प्रतिक्रिया की गणना संतुलन स्थिति से की जा सकती है। मुख्य प्रणाली चुनते समय, बिल्कुल आवश्यक कनेक्शनों को खारिज नहीं किया जा सकता है।

कनेक्शन, जब हटा दिए जाते हैं, तो सिस्टम ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तित रहता है, सशर्त रूप से आवश्यक कहा जाता है। जिस सिस्टम से ऐसा कनेक्शन हटाया गया है वह प्राथमिक सिस्टम हो सकता है बल विधि.

विहित समीकरणों के गुणांकों और मुक्त पदों की गणना

गणना का यह चरण आंतरिक बल कारकों (बीम और फ्रेम के लिए - झुकने वाले क्षणों के आरेख) की इकाई और लोड आरेख के निर्माण से पहले होता है। इकाई आरेख एक आयाम रहित इकाई बल या एक आयाम रहित इकाई क्षण की क्रिया से निर्मित होते हैं, जो समतुल्य प्रणाली में संबंधित अतिरिक्त अज्ञात की दिशा के साथ मेल खाते हैं, और द्वारा निरूपित किए जाते हैं, और एक इकाई आरेख द्वारा निरूपित किया जाता है।

लोड आरेख का निर्माण मुख्य प्रणाली पर लागू बाहरी भार से किया जाता है। इस मामले में, आप सभी बाहरी भारों की एक साथ कार्रवाई से एक आरेख या प्रत्येक लागू भार से अलग-अलग कई आरेख बना सकते हैं। एक लोड आरेख को कई सरल में इस तरह विभाजित करना, एक नियम के रूप में, केवल तभी उचित है जब अभिनय भार के बीच एक समान रूप से वितरित होता है, और इसके तहत संबंधित अनुभाग में क्षणों का आरेख संकेत में वैकल्पिक होता है। इस मामले में, प्रत्येक विहित समीकरण में मुक्त पदों की संख्या निर्मित लोड आरेखों की संख्या के बराबर होगी।

सामान्य स्थिति में इकाई और भार विस्थापन (विहित समीकरणों के गुणांक और मुक्त पद) की गणना मोहर की विधि द्वारा की जा सकती है। बीम और फ़्रेम के लिए यह वीरशैचिन के नियम का उपयोग करके किया जा सकता है।

गुणांकों का सार्वभौमिक सत्यापन और विहित समीकरणों के मुक्त पद

एक सार्वभौमिक जांच करने के लिए, कुल इकाई आरेख का निर्माण करना आवश्यक है - मुख्य प्रणाली पर लागू सभी इकाई बलों की एक साथ कार्रवाई से क्षणों का एक आरेख:

आइए कुल इकाई आरेख को आरेख से गुणा करें:

इस प्रकार, कुल और आई-वें इकाई आरेख को गुणा करने का परिणाम व्यक्तिगत अतिरिक्त अज्ञात की संयुक्त कार्रवाई से आई-वें कनेक्शन की दिशा में एक आंदोलन है। यह विस्थापन i-वें विहित समीकरण के गुणांकों के योग के बराबर है:

इस चेक को कहा जाता है पंक्ति दर पंक्तिऔर प्रत्येक विहित समीकरण के लिए संतुष्ट है।
एन लाइन-बाय-लाइन जांच के बजाय, सबसे अधिक बार एक प्रदर्शन किया जाता है - सार्वभौमिक सत्यापन,जिसमें कुल इकाई आरेख को स्वयं से गुणा करना और स्थिति की जाँच करना शामिल है:

यदि सार्वभौमिक जांच की जाती है, तो इकाई आंदोलनों की गणना सही ढंग से की जाती है; यदि नहीं, तो लाइन-दर-लाइन जांच करना आवश्यक है, जिससे गणना में उस गतिविधि को स्पष्ट करना संभव हो जाएगा जिसमें त्रुटि हुई थी।

कार्गो आंदोलनों की जांच करने के लिए, कुल इकाई को गुणा करना और झुकने वाले क्षणों के लोड आरेखों को गुणा करना आवश्यक है:

इस प्रकार, विहित समीकरणों (4) की प्रणाली के मुक्त पदों की जाँच में शर्त को पूरा करना शामिल है।

सामान्य जानकारी

बल विधि द्वारा स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियों की गणना स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री की पहचान के साथ शुरू होती है। किसी भी प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री को सूत्र का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है, जो फ्रेम की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री की पहचान करने के लिए, इस प्रकार होगा:

एल = 3के - डब्ल्यू, (23)

जहां L अतिरिक्त कनेक्शनों की संख्या है, K समोच्चों की संख्या है, और निरंतर बीम के लिए - सूत्र (24) के अनुसार:

एल = सी ऑप - 3, (24)

जहां C op समर्थन छड़ों की संख्या है।

आइए हम सूत्र (23) के अनुप्रयोग पर ध्यान दें।

उदाहरण 7.1.

सूत्र (23) का उपयोग करके, चित्र में दिखाए गए फ्रेम के स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करें। 7.1.

चावल। 7.1. चौखटा

समाधान

फ़्रेम में दो बंद आकृति I और II शामिल हैं। व्यक्त-निश्चित समर्थन एएक साधारण काज, व्यक्त-चल समर्थन के बराबर में -दो टिकाएं. इसलिए, Ш= 1 + 2 = 3.

स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री L = 3K - W = 3∙2 - 3 ==3 है - फ़्रेम स्थिर रूप से तीन गुना अनिश्चित है।

उदाहरण 7.2.

चित्र में दिखाए गए फ्रेम के स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करें। 7.2.

चावल। 7.2. 3-समोच्च फ़्रेम. चावल। 7.3. 6-सर्किट फ़्रेम

समाधान

फ़्रेम में तीन बंद लूप (I, II और III) हैं। टिकाओं की कुल संख्या श= 6 (दो साधारण टिकाएँ - ईऔर एफऔर दो व्यक्त चल समर्थन - एऔर डी)।अतिरिक्त कनेक्शनों की संख्या एल=3∙3 - 6=3. नतीजतन, फ्रेम तीन गुना स्थिर रूप से अनिश्चित है।

उदाहरण 7.3.

चित्र में दिखाए गए फ्रेम के स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करें। 7.3.

समाधान

इस फ्रेम में छह बंद लूप हैं। तीन साधारण टिकाएं (कब्जे) हैं एफ,एचऔर मैं). काज जी- डबल, तीन छड़ों को जोड़ने के रूप में। प्रत्येक व्यक्त चल समर्थन ए, बी, डीऔर ईदो साधारण टिकाओं और एक टिका-स्थिर समर्थन के बराबर है साथ- अकेला। इस तरह, श= 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. फिर स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री एल=3∙6-14 =4. इस प्रकार, फ़्रेम में चार अतिरिक्त कनेक्शन हैं, यानी यह स्थिर रूप से चार बार अनिश्चित है।

एक बार स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री स्थापित हो जाने के बाद, मूल प्रणाली का चयन किया जाता है।

एक प्राथमिक प्रणाली का चयन करना

मुख्य प्रणाली को अनावश्यक कनेक्शन और भार को समाप्त करके किसी दिए गए स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली से प्राप्त ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय सांख्यिकीय रूप से निश्चित प्रणाली कहा जाएगा।

चित्र में. 7.4., एएक स्थिर रूप से अनिश्चित फ़्रेम दिखाता है - एक दी गई प्रणाली। इस प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री:

एल = 3K- श=3∙1-0 =3.

इसलिए, किसी दिए गए सिस्टम से मुख्य सिस्टम प्राप्त करने के लिए फ्रेम को लोड से मुक्त करना आवश्यक है क्यूऔर तीन अतिरिक्त कनेक्शन त्यागें; उत्तरार्द्ध को विभिन्न तरीकों से पूरा किया जा सकता है, लेकिन उनमें से किसी का उपयोग करने के परिणामस्वरूप, परिणामी मूल प्रणाली ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय होनी चाहिए।

तो, उदाहरण के लिए, चित्र में। 7.4., बीभार को समाप्त करके प्राप्त बुनियादी प्रणाली को दर्शाता है क्यूऔर दाहिनी चुटकी का समर्थन में,तीन अतिरिक्त कनेक्शन के बराबर.

चावल। 7.4. एक प्राथमिक प्रणाली का चयन करना

अब अनुभाग मेंमुख्य प्रणाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में घूम सकती है और एक निश्चित कोण पर फ्रेम के विमान में घूम सकती है, यानी मुख्य प्रणाली में वे गतिविधियां संभव हो गई हैं जिन्हें किसी दिए गए सिस्टम में सही पिंचिंग समर्थन द्वारा रोका जाता है।

लक्ष्य और मुख्य प्रणालियों के बीच अंतर को खत्म करने के लिए, हम चित्र में दिखाए अनुसार आगे बढ़ते हैं। 7.4., वी:किसी दिए गए लोड के साथ मुख्य सिस्टम को लोड करें क्यूऔर बिंदु मेंयह, अनुभाग के निर्दिष्ट विस्थापन की दिशा में में,आइए हम संबंधित अभी तक अज्ञात क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बल लागू करें एक्स 1; एक्स 2और क्षण एक्स 3.

मात्रा एक्स 1; एक्स 2; एक्स 3अतिरिक्त अज्ञात कहलाते हैं और अतिरिक्त कनेक्शन की वांछित प्रतिक्रियाएं हैं, जो किसी दिए गए सिस्टम पर छोड़े गए अतिरिक्त कनेक्शन के प्रभाव को प्रतिस्थापित करती हैं।

हम इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित करते हैं कि मुख्य प्रणाली, किसी दिए गए भार और अतिरिक्त अज्ञात से भरी हुई, आंतरिक बलों और विस्थापन के संदर्भ में दिए गए स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली के बराबर है।

इसके अलावा, हम भविष्य में सहमत होंगे, जैसा कि व्यावहारिक गणनाओं में प्रथागत है, मुख्य प्रणाली को एक अलग चित्र में चित्रित नहीं करने के लिए और इसके बजाय एक दिए गए भार और अतिरिक्त अज्ञात के साथ भरी हुई चयनित मुख्य प्रणाली का एक चित्र देने के लिए।

इसके बाद, विस्थापन की अनुकूलता के लिए समीकरण तैयार किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को यह शर्त व्यक्त करनी चाहिए कि किसी दिए गए भार और सभी अनावश्यक अज्ञात से एक या दूसरे छोड़े गए कनेक्शन (अज्ञात बल) की दिशा में कुल विस्थापन शून्य के बराबर है। ये समीकरण, एक निश्चित, एक बार और सभी के लिए लिखे गए हैं निर्धारित प्रपत्र में, बल विधि के विहित समीकरण कहलाते हैं। उनकी संख्या खारिज किये गये कनेक्शनों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। विचाराधीन फ्रेम के लिए, निम्नलिखित रूप वाले तीन विहित समीकरण बनाना आवश्यक है:

δ 11 एक्स 1 + δ 12 एक्स 2 + δ 13 एक्स 3 + ∆ 1 पी = 0

δ 21 एक्स 1 + δ 22 एक्स 2 + δ 23 एक्स 3 + ∆ 2 पी = 0 (25)

δ 31 एक्स 1 + δ 32 एक्स 2 + δ 33 एक्स 3 + ∆ 3 पी = 0

कहाँ δ 11-बल X के अनुप्रयोग के बिंदु को हिलाना 1 इकाई बल से इस बल की दिशा में = 1;

δ 11एक्स 1 -एक ही बिंदु की एक ही दिशा में गति के कारण पूर्ण अर्थएक्स 1 ;

δ 12 - बल एक्स के अनुप्रयोग के बिंदु की गति 1 सेएक इकाई बल के कारण उत्पन्न इस बल की दिशा

δ 12 एक्स 2 - बल एक्स 2 के पूर्ण मूल्य के कारण एक ही दिशा में एक ही बिंदु की गति;

δ 13 - इकाई बल से इस बल की दिशा में बल X x के अनुप्रयोग बिंदु का विस्थापन = 1;

δ 13 एक्स 3 - बल एक्स 3 के पूर्ण मूल्य के कारण एक ही दिशा में एक ही बिंदु की गति;

∆ 1 पी - किसी दिए गए भार के कारण एक ही दिशा में एक ही बिंदु की गति; δ 21 एक्स 1 - बल X के कारण इस बल की दिशा में बल X 2 के अनुप्रयोग बिंदु की गति 1 , वगैरह।

यह ध्यान में रखना चाहिए कि एक बार संकलित कर लिया जाए सामान्य रूप से देखें एनके साथ विहित समीकरण एनअज्ञात किसी पर भी लागू होता है एनकई बार यह एक स्थिर रूप से अनिश्चित प्रणाली होती है। इस प्रकार, समीकरण (25) किसी भी तीन बार सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणाली के लिए मान्य हैं।

बल विधि के विहित समीकरणों को संकलित करने के बाद, हमें इकाई की गणना के लिए आगे बढ़ना चाहिए δikऔर कार्गो ∆ आई पीआंदोलनों.

ऐसा करने के लिए, हम पहले मुख्य प्रणाली के भार और इकाई अवस्थाओं की अवधारणाओं का परिचय देते हैं।

परिवहनआइए मुख्य प्रणाली की स्थिति को कॉल करें जिसमें यह केवल किसी दिए गए लोड के प्रभाव में है।

अकेलाहम मुख्य प्रणाली की उस स्थिति को कहेंगे जिसमें यह एकता ई = 1 के बराबर केवल एक बल से भरा हुआ है, जो एक अज्ञात प्रतिक्रिया की दिशा में कार्य करता है एक्सटी.

ध्यान दें कि मुख्य प्रणाली की एकल अवस्थाओं की संख्या दी गई प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री के अनुरूप होनी चाहिए,

यानी, अतिरिक्त अज्ञात की संख्या। आंकड़ों में कार्गो और मुख्य प्रणाली के सभी अलग-अलग राज्यों को अलग-अलग चित्रित करने के बाद, संबंधित कार्गो का निर्माण करें श्रीऔर एकल एम 1, एम 2, ..., एम पीझुकने वाले क्षणों के आरेख।

अंत में, आरेखों को गुणा करने की विधि का उपयोग करके, इकाई की गणना करें δikऔर कार्गो ∆ आई पीआंदोलन।

आरेखों को गुणा करते समय, यह याद रखना चाहिए कि, विस्थापन की पारस्परिकता (मैक्सवेल के प्रमेय) पर प्रमेय के आधार पर, पारस्परिक रूप से पुनर्व्यवस्थित सूचकांकों के साथ इकाई विस्थापन एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात। δ ik = δ की .

परिकलित मान δikऔर ∆ आई पीविहित समीकरणों में स्थानापन्न करें और समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें, जिसके परिणामस्वरूप अज्ञात बंधन प्रतिक्रियाओं एक्स के मान पाए जाते हैं 1 , एक्स 2 , ..., एक्स पी.

अब मुख्य प्रणाली को एक दिए गए भार और पहले से ही ज्ञात बलों एक्स के साथ लोड किया गया है 1 = ए 1;एक्स 2 = ए 2, ..., एक्स पी= ए पी,सामान्य तरीके से आरेख बनाएं (सांख्यिकीय रूप से निर्धारित प्रणाली के लिए) क्यू, एमऔर एन,जो किसी दिए गए सिस्टम के लिए अनुप्रस्थ बलों, झुकने वाले क्षणों और अनुदैर्ध्य बलों के अंतिम आरेख हैं।

झुकने वाले क्षणों का अंतिम आरेख आरेख के निर्देशांकों को जोड़कर भी प्राप्त किया जा सकता है श्रीआरेख के संगत निर्देशांक के साथ

अज्ञात का निर्धारण करने के बाद, आप तुरंत एक आरेख प्राप्त कर सकते हैं एम,जिस पर एक आरेख बनाना है क्यू,और कटे हुए फ्रेम नोड्स की संतुलन स्थितियों से अनुदैर्ध्य बलों का निर्धारण करें। इस मामले में, आरेखों का उपयोग करके समर्थन प्रतिक्रियाएं सबसे अंत में पाई जाती हैं क्यू, एमऔर एन,

X से गुणा किया गया 1 , आरेख के निर्देशांक , से गुणा किया गया एक्स 2..., और आरेख के निर्देशांक , से गुणा किया गया एक्स पी,यानी

समान सूचकांकों के साथ इकाई चालें ( δ 11, δ 22, δ 33आदि) आमतौर पर कहा जाता है मुख्य आंदोलन, और विभिन्न सूचकांकों के साथ

(δ 12, δ 13, δ 23वगैरह।) - दुष्प्रभाव.

मुख्य विस्थापन कभी गायब नहीं होते हैं और हमेशा एक सकारात्मक मान रखते हैं, क्योंकि इस मामले में आरेख स्वयं से गुणा हो जाते हैं, यानी, क्षेत्र ω और कोटि दोनों परएक ही कथानक से लिए गए हैं.

साइड मूवमेंट सकारात्मक, नकारात्मक और, मुख्य प्रणाली के सफल विकल्प के साथ, शून्य के बराबर हो सकते हैं। बाद के मामले में, विस्थापन की गणना के लिए संचालन काफी कम हो गया है और सरल हो गया है।

चित्र में. 7.4., बीमुख्य प्रणाली को खराब तरीके से चुना गया है, क्योंकि इसके लिए कोई भी पार्श्व विस्थापन शून्य नहीं होगा। नीचे इस फ़्रेम की गणना की जाएगी, और भी अधिक के साथ तर्कसंगत विकल्पमुख्य प्रणाली.