Теорема об изменении количества движения матер. точки . – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени . В проекциях на оси координат: и т.д.
Теорема об изменении момента количества движения матер. точки . - момент количества движения матер. точки относительно центра О. – производная по времени от момента количества движения матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра. Проектируя векторное равенство на оси координат. получаем три скалярных уравнения: и т.д. - производная от момента кол-ва движения матер. точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же оси. При действии центральной силы, проходящей через О, М О = 0, Þ =const. =const, где – секторная скорость . Под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. радиус-вектор точки описывает ("ометает") равные площади в любые равные промежутки времени (закон площадей) Этот закон имеет место при движении планет и спутников – один из законов Кеплера.
Работа силы. Мощность . Элементарная работа dA = F t ds, F t – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA = Fdscosa.
Если a – острый, то dA>0, тупой – <0, a=90 o: dA=0. dA= – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= F x dx+F y dy+F z dz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М 0 М 1: . Если сила постоянна , то = F×s×cosa. Единицы работы:.
Т.к. dx= dt и т.д., то .
Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А 1 +А 2 +…+А n .
Работа силы тяжести: , >0, если начальная точка выше конечной.
Работа силы упругости: –работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа силы трения: если сила трения const, то - всегда отрицательна, F тр =fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.
Работа силы тяготения. Сила притяжения (тяготения): , из mg= , находим коэфф. k=gR 2 . – не зависит от траектории.
Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна : N=A/t. .
Теорема об изменении кинетической энергии точки . В диффер-ной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.
Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и F x =F x (x,y,z) и т.д. Свойства стационар. силовых полей:
1) Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М 1 и конечного М 2 положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.
2) Имеет место равенство А 2,1 = – А 1,2 . Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.
Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.
Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями называется потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, А 1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:
Функция U=U(x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ,…x n ,y n ,z n) называется силовой функцией . Элементарная работа сил поля: dА=ådА i = dU. Если силовое поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении , т.е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Потенциальная энергия П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П 0 = 0. П=П(x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ,…x n ,y n ,z n). Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий А 1,2 = П 1 – П 2 . Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на постоянную величину U 0: А 1,0 = П =U 0 – U. Потенциальная энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния r точки массой m до центра: , . Центральной является гравитационная сила ,
F = 6,67×10 -11 м 3 /(кгс 2) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v 1 = » 7,9 км/с, R = 6,37×10 6 м – радиус Земли; тело выходит на круговую орбиту. Вторая космическая скорость: v 11 = » 11,2 км/с, траектория тела парабола, при v >v 11 – гипербола. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин:
L – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: , l 1 и l 2 – деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.
Динамика материальной системы
Материальная система – совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязаны. Масса системы = сумме масс всех точек (или тел), образующих систему: М=åm k . Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д. Внешние силы F e – силы, действующие на точки системы со стороны тел, не входящих в систему. Внутренние силы F i – силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему. Свойства внутренних сил: 1) Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил = 0; 2) Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки = 0. Дифф-ные уравнения движения системы матер.точек :
Или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы. Геометрия масс .
Момент инерции матер.точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси: mh 2 . Момент инерции тела (системы) относительно оси Оz: J z = åm k h k 2 . При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: J x = ò(y 2 +z 2)dm; J y = ò(z 2 +x 2)dm; J z = ò(x 2 +y 2)dm – относительно координатных осей. J z = M×r 2 , r – радиус инерции тела – расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела. Момент инерции относительно оси (осевой момент инерции) всегда >0. Полярный момент инерции J o = ò(x 2 +y 2 +z 2)dm; J x +J y +J z = 2J o . Центробежный момент инерции J xy для матер.точки называется произведение ее координат x и y на ее массу m. Для тела центробежными моментами инерции называются величины, определяемые равенствами: J xy =òxy dm; J yz =òyz dm; J zx =òzx dm. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. J xy =J yx и т.д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль. Главной осью инерции тела называется ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если J xz =J yz =0, то ось z – главная ось инерции. Главной центральной осью инерции называется главная ось инерции, проходящая через центр масс тела. 1)Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки, в которой ось пересекает плоскость. 2)Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела (ось динамической симметрии). Размерность всех моментов инерции [кгм 2 ]
Центробежный момент инерции зависят не только от направления координатных осей, но и от выбора начала координат.
Тензор инерции в данной точке:
Моменты инерции некоторых однородных тел:
стержень массы m и длины L: ; .
Однородный сплошной диск с центром в точке С радиуса R и массы m: . Полый цилиндр: ,
цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): .
Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
Наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс. Момент инерции относительно произвольной оси L: J = J x cos 2 a + J y cos 2 b + J z cos 2 g – 2J xy cosacosb – 2J yz cosbcosg – 2J zx cosgcosa,
если координатные оси являются главными относительно своего начала, то:
J = J x cos 2 a + J y cos 2 b + J z cos 2 g. Теорема о движении центра масс системы.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил – дифференциальное уравнение движения центра масс. В проекциях на оси координат: .
Закон сохранения движения центра масс . Если главный вектор (векторная сумма) внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно. Аналогично в проекциях на оси, если Þ , если при этом в начальный момент v Cx 0 = 0, то Þ Þ x C = const.
Количество движения системы Q (иногда обозначают К) – вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:
М – масса всей системы, v C – скорость центра масс.
Теорема об изменении количества движения системы: – производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях: , и т.д. Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме:
Где – импульсы внешних сил .
В проекциях: Q 1 x – Q 0 x = åS e kx и т.д. количество движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени. Закон сохранения количества движения – если сумма всех внешних сил, действующих на систему, = 0, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению: Þ = const, аналогично в проекциях: Þ Q x = const. Из закона следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движение системы не могут. Тело переменной массы , масса которого непрерывно изменяется с течением времени m= f(t) (пр.: ракета, топливо которой убывает). Дифф-ное уравнение движения точки переменной массы:
– уравнение Мещерского , u – относительная скорость отделяющихся частиц. – реактивная сила, - секундный расход топлива, . Реактивная сила направлена в противоположную сторону относительной скорости истечения топлива.
Формула Циолковского : - определяет скорость ракеты, когда все топливо будет израсходовано – скорость в конце активного участка, m т – масса топлива, m k – масса корпуса ракеты, v 0 – начальная скорость. – число Циолковского, m 0 – стартовая масса ракеты. От режима работы ракетного двигателя, т.е. от того насколько быстро сжигается топливо, скорость ракеты в конце периода горения не зависит. Для достижения 1-ой космической скорости 7,9 км/с, при m 0 /m k = 4, скорость отброса должна быть 6 км/с, что трудно осуществить, поэтому применяются составные (многоступенчатые) ракеты.
Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) – величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно центра О. . Теорема об изменении момента количеств движения системы (теорема об изменении кинетического момента) :
Производная по времени от кинетического момента механич. системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра. Аналогичные равенства относительно осей координат: и т.д.
Закон сохранения кинетического момента: если , то . Главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела: K z = J z w. Если M z = 0, то J z w = const, J z – момент инерции тела..
Кинетическая энергия системы – скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетической энергий всех точек системы: . Если система состоит из нескольких тел, то Т = åТ к. Поступательное движение: Т пост = ,. Вращательное движ-ие: Т вр = , J z – момент инерции относительно оси вращения. Плоскопараллельное (плоское) движ-ие: Т пл = + , v C – скорость центра масс. Общий случай: Т= + , J CP – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Теорема Кенига: Т= + – кинетич. энергия мех. сист. = сумме кинетич. энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетич. энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс. Работа силы: , работа момента: . Мощность: N= Fv, N=M z w. Теорема об изменении кинетической энергии системы : в дифференциальной форме: dT = , , – элементарные работы, действующих на точку внешних и внутренних сил, в конечной форме:
Т 2 – Т 1 = . Для неизменяемой системы и Т 2 – Т 1 = , т.е. изменение кинетической энергии твердого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении. Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Коэффициент полезного действия (кпд): < 1, А пол.сопр. – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А затр = А пол.сопр. + А вр.сопр. – затраченная работа, А вр.сопр. -– работа вредных сил сопротивления (силы трения, сопротивления воздуха и т.п.).
h= N маш /N дв, N маш – полезная мощность машины, N дв – мощность дв-ля, приводящего ее в движение. Закон сохранения полной механической энергии : Т + П = const. Если система движется под действием потенциальных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. (Т + П - интеграл энергии). Потенциальные силы – силы, работа которых не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка (пр.: сила тяжести, сила упругости) Непотенциальные – напр.: силы трения. Механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергий. Расход механической энергии обычно означает превращение ее в теплоту, электричество, звук или свет, а приток механической энергии связан с обратным процессом превращения различных видов энергии в механическую энергию.
Динамика твердого тела
Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела: и т.д. – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0: =0.
Дифф-ные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси : ,
J z – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент). , e – угловое ускорение, чем больше момент инерции при данном , тем меньше ускорение, т.е момент инерции при вращательном движении является аналогом массы при поступательном. Зная , можно найти закон вращения тела j=f(t), и, наоборот, зная j=f(t), можно найти момент. Частные случаи: 1) если = 0, то w = const – тело вращается равномерно; 2) = const, то e = const – вращение равнопеременное. Уравнение аналогичное дифф-ному уравнению прямолинейного движения точки .
Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести. Ур-ние вращательного движения:
Обозначая , получаем дифф-ное уравнение колебаний маятника: , k – частота колебаний маятника. Рассматривая малые колебания, можно считать sinj » j, тогда – дифф-ное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения: j = С 1 coskt + C 2 sinkt или j = asin(kt + b), a – амплитуда колебаний маятника, b – начальная фаза колебаний. Период малых колебаний физического маятника Т= 2p/k = 2p . Для малых колебаний маятника период не зависит от угла начального отклонения, этот результат является приближенным. Для математического маятника (материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити и движущейся под действием силы тяжести) имеем дифф. уравнения движения:
L – длина нити. Если L= , то математический маятник будет двигаться так же, как и физический (период колебаний совпадает). Величина L назыв-ся приведенной длиной физического маятника. Точка К, отстоящая от оси подвеса на расстоянии ОК=L, назыв-ся центром качаний физич. маятника. Если ось подвеса взять в точке К, то точка О будет центром качаний и наоборот – свойство взаимности . Расстояние ОК всегда >ОС, т.е. центр качаний всегда расположен ниже центра масс.
Динамика плоского движения твердого тела
Положение тела определяется положением полюса и углом поворота тела вокруг полюса. Дифф-ные уравнения плоского движения тв. тела :
; ; , С – центр масс тела, J C – момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения тела и проходящей через его центр масс.
Принцип Даламбера (метод кинетостатики)
В каждый момент движения сумма активных сил, реакций связей и сил инерции равна нулю - принцип Даламбера для материальной точки.
– внешняя сила, – внутренняя сила. Сила инерции: , знак (–) показывает, что сила инерции направлена в противоположную сторону ускорению.
Для системы добавляется уравнение моментов: .
Обозначают: – главный вектор сил инерции, – главный момент сил инерции. Учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равна нулю , , получаем: , - уравнения кинетостатики. Принцип Даламбера для системы – если в любой момент времени к каждой точке системы приложить, кроме реально действующих сил, соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно применять уравнения статики. Это упрощает процесс решения задач.
Главный вектор сил инерции равен произведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Главный момент сил инерции зависит от вида движения: при поступательном движении ; при плоском , при вращении вокруг оси z, проходящей через центр масс тела, .
Условия отсутствия динамических составляющих :
Откуда
x C = 0, y C = 0, J yz = 0, J zx = 0, это означает, что центр тяжести должен находиться на оси вращения тела и ось вращения тела z должна быть главной осью инерции тела. Т.е. ось вращения должна являться главной центральной осью инерции тела (ось, которая проходит через центр масс тела, и центробежные моменты инерции с индексом этой оси равны нулю). Для выполнения этого условия проводится специальная балансировка быстро вращающихся тел.
Основы аналитической механики
Возможные (виртуальные) перемещения системы (ds, dj) – любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Т.е. криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к их траекториям.
Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.
Возможная (виртуальная) работа dА – элементарная работа, которую, действующая на матер.точку сила могла бы совершить на возможном перемещении этой точки.
Связи являются идеальными , если сумма элементарных работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е. SdА r =0.
Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .
Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.
Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.
Общее уравнение динамики – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.
Уравнения Лагранжа 2-го рода : , (i=1,2…s) – дифференциальные уравнения второго порядка, s – число степеней свободы системы (число независимых координат); q i – обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.); – обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),
Т = Т(q 1 ,q 2 ,…,q S , , … ,t) – кинетическая энергия системы, Q i – обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.
Для вычисления обобщенной силы, например Q 1 , задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме dq 1 , равны нулю:
dq 1 ¹0, dq 2 = dq 3 =…= dq S = 0. Вычисляем на этом перемещении возможную работу dА 1 всех активных сил, приложенных к системе. Имея dА 1 = Q 1 dq 1 , находим .
Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс.
Теорема об изменении количества движения. Количество движения материальной точки. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток времени и его проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах.
Количество движения механической системы; его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической
(Понятие о теле и точке переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.)
Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Центральная сила. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. (Понятие о секторной скорости. Закон площадей.)
Главный момент количеств движения или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. (Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.)
Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах.
Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности, при плоскопараллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. Выражение проекций силы через силовую функцию. Поверхности равного потенциала. Работа силы на конечном перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей: однородное поле тяжести и поле тяготения. Закон сохранения механической энергии.
Динамика твердого тела. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Принцип Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки; сила инерции. Принцип Даламбера для механической системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру; главный вектор и главный момент сил инерции.
(Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела.)
Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или виртуальные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
Уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа). Обобщенные координаты системы; обобщенные скорости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (кинетический потенциал).
Понятие об устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия системы и их свойства.
Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
Бутенин Н. В., Лунц Я- Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. Т. 1, 2. М., 1985 и предыдущие издания.
Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. М., 1983.
Старжинский В. М. Теоретическая механика. М., 1980.
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания.
Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1. М., 1984 и предыдущие издания.
Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч. 2. М., 1984 и предыдущие издания.
Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и предыдущие издания.
Сборник задач по теоретической механике/Под ред. К. С. Колесникова. М., 1983.
Дополнительной
Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч. 1, 2. М., 1984 и предыдущие издания.
Сборник задач по теоретической механике/5ражничен/со Н. А., Кан В. Л., Минцберг Б. Л. и др. М., 1987.
Новожилов И. В., Зацепин М. Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ. М., 1986,
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /Под ред. А. А. Яблонского. М., 1985 и предыдущие издания (содержит примеры решения задач).
Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.
Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.
Статика твердого тела
Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.
- Основные понятия и законы статики
- Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
- Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
- Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
- Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
- Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
- Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
- Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
- Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
- Сила
– это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон. - Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
- Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
- Распределенные силы (распределенная нагрузка)
– это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м). - Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
- Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
- Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
- Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
- Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
- Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
- Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
- Эквивалентные системы сил
– это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: . - Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
- Уравновешенная система сил
– это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
. - Равнодействующая сила
– это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
. - Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
- Пара сил
– это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение. - Проекция силы на ось
– это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси. - Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
- Закон 1 (закон инерции).
Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. - Закон 2.
Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое. - Закон 3.
Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела. - Закон 4.
Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна: - Закон 5 (закон равенства действия и противодействия)
. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам. - Закон 6 (закон отвердевания)
. Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела. - Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.
- Связи и их реакции
- Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
- Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
- Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
- Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
- Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.
Кинематика
Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.
- Основные понятия кинематики
- Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
- Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
- Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
- Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).
- Определение кинематических характеристик точки
- Траектория точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее. - Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости):
.
Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины. - Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки:
.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
,
где — углы между вектором скорости и осями координат. - Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .
- Кинематика твердого тела
- В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела. - Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки . - Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
— угловая скорость, рад/с;
— угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние
.
Модуль линейной скорости:
.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
,
где
.
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение:
;
нормальное ускорение:
.
Динамика
Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.
- Основные понятия динамики
- Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
- Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
- Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
- Центр масс механической системы
— геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести. - Момент инерции материального тела относительно оси
– это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
- Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
- Сила инерции материального тела
— это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела. - Элементарный импульс силы
— это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt
:
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
. - Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои
Общие теоремы динамики - это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Теорема о движении центра масс механической системы
Теорема о движении центра масс.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.
Здесь M
- масса системы:
;
a C
- ускорение центра масс системы:
;
v C
- скорость центра масс системы:
;
r C
- радиус вектор (координаты) центра масс системы:
;
- координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.
Теорема об изменении количества движения (импульса)
Количество движения (импульс) системы
равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему:
.
Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.
Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.
Теорема об изменении количества движения в интегральной форме.
Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:
.
Закон сохранения количества движения (импульса).
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.
Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Главным моментом количества движения системы относительно данного центра O
называется величина , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:
.
Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение.
Закрепленные системы
Следующая ниже теорема относится к случаю, когда механическая система имеет неподвижную точку или ось, которая закреплена относительно инерциальной системы отсчета. Например тело, закрепленное сферическим подшипником. Или система тел, совершающая движение вокруг неподвижного центра. Это также может быть неподвижная ось, вокруг которой вращается тело или система тел. В этом случае, под моментами следует понимать моменты импульса и сил относительно закрепленной оси.
Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O
равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Закон сохранения главного момента количества движения (момента импульса).
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного неподвижного центра O
равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения системы относительно этой оси будет постоянным.
Произвольные системы
Следующая далее теорема имеет универсальный характер. Она применима как к закрепленным системам, так и к свободно движущимся. В случае закрепленных систем нужно учитывать реакции связей в закрепленных точках. Она отличается от предыдущей теоремы тем, что вместо закрепленной точки O следует брать центр масс C системы.
Теорема моментов относительно центра масс
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно центра масс C
равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Закон сохранения момента импульса.
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно центра масс C
равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.
Момент инерции тела
Если тело вращается вокруг оси z
с угловой скоростью ω z
,
то его момент количества движения (кинетический момент) относительно оси z
определяется по формуле:
L z = J z ω z
,
где J z
- момент инерции тела относительно оси z
.
Момент инерции тела относительно оси z
определяется по формуле:
,
где h k
- расстояние от точки массой m k
до оси z
.
Для тонкого кольца массы M
и радиуса R
или цилиндра, масса которого распределена по его ободу,
J z = M R 2
.
Для сплошного однородного кольца или цилиндра,
.
Теорема Штейнера-Гюйгенса.
Пусть Cz
- ось, проходящая через центр масс тела, Oz
- параллельная ей ось. Тогда моменты инерции тела относительно этих осей связаны соотношением:
J Oz = J Cz + M a 2
,
где M
- масса тела; a
- расстояние между осями.
В более общем случае
:
,
где - тензор инерции тела.
Здесь - вектор, проведенный из центра масс тела в точку с массой m k
.
Теорема об изменении кинетической энергии
Пусть тело массы M
совершает поступательное и вращательное движение с угловой скоростью ω
вокруг некоторой оси z
.
Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле:
,
где v C
- скорость движения центра масс тела;
J Cz
- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения. Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.
Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.
Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.
Работа, которую совершает сила
, равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения :
,
то есть произведению модулей векторов F
и ds
на косинус угла между ними.
Работа, которую совершает момент сил
, равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота :
.
Принцип Даламбера
Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения
Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
;
.
Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z
и на него действуют внешние моменты сил M e zk
.
Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε z
.
Далее мы вводим момент сил инерции M И = - J z ε z
.
После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.
Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел
Принцип возможных перемещений
.
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.
Возможное перемещение системы - это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.
Идеальные связи - это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.
Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)
Принцип Даламбера - Лагранжа - это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.
Принцип Даламбера - Лагранжа
.
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики
.
Уравнения Лагранжа
Обобщенные координаты q 1 , q 2 , ..., q n - это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.
Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.
Обобщенные скорости - это производные от обобщенных координат по времени t .
Обобщенные силы Q 1
, Q 2
, ..., Q n
.
Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата q k
получит перемещение δq k
.
Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δA k
- это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда
δA k = Q k δq k
,
или
.
Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q 1
δq 1
+ Q 2
δq 2
+ ... + Q n δq n
.
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.
Для потенциальных сил
с потенциалом Π
,
.
Уравнения Лагранжа
- это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:
Здесь T
- кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.
Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.