Inegalitate este o notație în care numerele, variabilele sau expresiile sunt legate printr-un semn<, >, sau . Adică, inegalitatea poate fi numită o comparație de numere, variabile sau expresii. Semne < , > , ⩽ Și ⩾ numit semne de inegalitate.
Tipuri de inegalități și modul în care sunt citite:
După cum se poate vedea din exemple, toate inegalitățile constau din două părți: stânga și dreapta, conectate prin unul dintre semnele de inegalitate. În funcție de semnul care leagă părțile inegalităților, acestea sunt împărțite în stricte și nestrictive.
Inegalități stricte- inegalități ale căror părți sunt legate printr-un semn< или >. Inegalități nestricte- inegalități ale căror părți sunt legate prin semn sau .
Luați în considerare regulile de bază ale comparației în algebră:
- Orice număr pozitiv mai mare decât zero.
- Orice număr negativ este mai mic decât zero.
- Dintre două numere negative, cel cu valoarea absolută mai mică este mai mare. De exemplu, -1 > -7.
- AȘi b pozitiv:
A - b > 0,
Acea A Mai mult b (A > b).
- Dacă diferenţa a două numere inegale AȘi b negativ:
A - b < 0,
Acea A Mai puțin b (A < b).
- Dacă numărul este mai mare decât zero, atunci este pozitiv:
A> 0 înseamnă A este un număr pozitiv.
- Dacă numărul este mai mic decât zero, atunci este negativ:
A < 0, значит A- un număr negativ.
Inegalități echivalente- inegalități care sunt o consecință a unei alte inegalități. De exemplu, dacă A Mai puțin b, Acea b Mai mult A:
A < bȘi b > A- inegalități echivalente
Proprietățile inegalităților
- Dacă același număr este adăugat la ambele părți ale inegalității sau același număr este scăzut din ambele părți, atunci se va obține o inegalitate echivalentă, adică
Dacă A > b, Acea A + c > b + c Și A - c > b - c
De aici rezultă că este posibil să se transfere termenii inegalității dintr-o parte în alta cu semnul opus. De exemplu, adăugarea la ambele părți ale inegalității A - b > c - d De d, primim:
A - b > c - d
A - b + d > c - d + d
A - b + d > c
- Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv, atunci se va obține o inegalitate echivalentă, adică
- Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, atunci se va obține inegalitatea opusă celui dat, adică la înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr negativ, semnul inegalității. trebuie schimbat la invers.
Această proprietate poate fi folosită pentru a schimba semnele tuturor termenilor unei inegalități prin înmulțirea ambelor părți cu -1 și inversând semnul inegalității:
-A + b > -c
(-A + b) · -1< (-c) · -1
A - b < c
Inegalitate -A + b > -c este echivalent cu inegalitatea A - b < c
Cele mai simple inegalități liniare sunt inegalități de forma x>a; x≥a; X Soluția celei mai simple inegalități liniare poate fi reprezentată pe o dreaptă numerică sub formă și scrisă ca un interval. Există inegalități stricte și nestrictive. Inegalități stricte sunt inegalități cu mai mare decât (>) sau mai puțin decât (<). Inegalități nestricte sunt inegalități cu semne mai mari sau egale cu (≥) sau mai mici sau egale cu (≤). Când descriem o soluție la o inegalitate strictă pe o dreaptă numerică, tăiem punctul (este desenat gol în interior), pictăm peste punctul din inegalitatea nestrictă (puteți folosi pentru memorare). Intervalul numeric corespunzător soluției inegalității x
Decalajul numeric - soluția inegalității x>a sau x≥a - se află în dreapta punctului a (hașura merge de la punctul a la dreapta, la plus infinit) (puteți folosi pentru memorare). Paranteza corespunzătoare punctului a al inegalității stricte x>a sau x
Într-o inegalitate nestrictă x≥a sau x≤a, punctul a este cu paranteză pătrată. Infinitul și minus infinitul în orice inegalitate sunt întotdeauna scrise cu o paranteză. Dacă ambele paranteze dintr-o intrare sunt paranteze, decalajul numeric se numește deschis. Capetele decalajului deschis nu sunt o soluție la inegalitate și nu sunt incluse în răspuns. Sfârșitul intervalului cu paranteză pătrată este inclus în răspuns. Intervalul este întotdeauna înregistrat de la stânga la dreapta, de la cel mai mic la cel mai mare. Soluția celor mai simple inegalități liniare poate fi reprezentată schematic sub formă de diagramă: Luați în considerare exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități liniare. Title="Redată de QuickLaTeX.com">!} Ei au citit: „x este mai mult de doisprezece”. Solutie: Inegalitatea nu este strictă, pe linia numerică 12 este reprezentată printr-un punct perforat. Adăugăm mental o săgeată la semnul de inegalitate: -\u003e. Săgeata indică faptul că hașura merge de la 12 la dreapta, la plus infinit: Deoarece inegalitatea este strictă și punctul x=12 este perforat, scriem 12 ca răspuns cu o paranteză. Ei citesc: „x aparține intervalului deschis de la doisprezece la infinit”. Ei au citit: „x este mai mare decât minus trei virgulă șapte zecimi” Solutie: Inegalitatea nu este strictă, așa că -3,7 pe linia numerică este reprezentat ca un punct umplut. Adăugați mental o săgeată la semnul de inegalitate: -≥. Săgeata este îndreptată spre dreapta, așa că hașura de la -3,7 merge la dreapta, la infinit: Deoarece inegalitatea nu este strictă și punctul x= -3,7 este completat, scriem -3,7 ca răspuns cu o paranteză pătrată. Ei citesc: „X aparține intervalului de la minus trei virgulă șapte zecimi la infinit, inclusiv minus trei virgulă șapte zecimi”. Ei citesc: „x este mai mic de zero virgulă două zecimi” (sau „x este mai mic de zero virgulă două zecimi”). Solutie: Inegalitatea este strictă, 0,2 pe linia numerică este reprezentat de un punct perforat. Adăugăm mental o săgeată la semnul de inegalitate:<—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности: Inegalitatea este strictă, punctul este perforat, 0,2 — cu o paranteză. Ei au citit: „X aparține intervalului deschis de la minus infinit la zero punctul doi”. Ei au citit: „X este mai mic sau egal cu cinci”. Solutie: Inegalitatea nu este strictă, pe linia numerică reprezentăm 5 ca un punct umplut. Adăugăm mental o săgeată la semnul de inegalitate: ≤-. Direcția de hașurare este spre stânga, spre minus infinit: Inegalitatea nu este strictă, punctul este umplut, 5 este între paranteze drepte. Ei citesc: „x aparține intervalului de la minus infinit la cinci, inclusiv cinci”. Inegalitatea este cealaltă parte a egalității. Materialul acestui articol oferă o definiție a inegalității și informații inițiale despre aceasta în contextul matematicii. Conceptul de inegalitate, ca și conceptul de egalitate, este asociat cu momentul comparării a două obiecte. În timp ce egalitatea înseamnă „la fel”, inegalitatea, dimpotrivă, indică diferențele dintre obiectele care sunt comparate. De exemplu, și sunt aceleași obiecte sau egale. și - obiecte care sunt diferite între ele sau inegale. Inegalitatea obiectelor este determinată de încărcarea semantică în cuvinte precum mai sus - dedesubt (inegalitatea pe baza înălțimii); mai gros - mai subțire (inegalitate pe baza grosimii); mai lung - mai scurt (inegalitatea pe baza lungimii) și așa mai departe. Este posibil să vorbim atât despre egalitatea-inegalitatea obiectelor în ansamblu, cât și despre compararea caracteristicilor lor individuale. Să presupunem că sunt date două obiecte: și . Fără îndoială, aceste obiecte nu sunt aceleași, adică. în general, nu sunt egale: pe baza mărimii și culorii. Dar, în același timp, putem argumenta că formele lor sunt egale - ambele obiecte sunt cercuri. În contextul matematicii, încărcătura semantică a inegalității este păstrată. Totuși, în acest caz vorbim despre inegalitatea obiectelor matematice: numere, valori ale expresiilor, valori ale cantităților (lungime, suprafață etc.), vectori, cifre etc. În funcție de obiectivele sarcinii, simplul fapt de clarificare a inegalității obiectelor poate fi valoros, dar de obicei, după stabilirea faptului inegalității, se clarifică care valoare este mai mare și care este mai mică. Sensul cuvintelor „mai mult” și „mai puțin” ne este familiar intuitiv încă de la începutul vieții noastre. Evidentă este abilitatea de a determina superioritatea unui obiect în ceea ce privește dimensiunea, cantitatea etc. Dar, în final, orice comparație ne duce la o comparație de numere care definesc unele caracteristici ale obiectelor comparate. În esență, aflăm care număr este mai mare și care este mai mic. Exemplu simplu: Exemplul 1 Dimineața temperatura aerului a fost de 10 grade Celsius; la ora două după-amiaza această cifră era de 15 grade. Pe baza comparației numerelor naturale, putem afirma că valoarea temperaturii dimineața a fost mai mică decât valoarea ei la ora două după-amiaza (sau la ora două după-amiaza temperatura a crescut, a devenit mai mare decât temperatura). dimineața). Există notații general acceptate pentru scrierea inegalităților: Definiția 1 Vom analiza mai detaliat semnificația lor mai jos. Să dăm o definiție a inegalităților după forma notării lor. Definiția 2 inegalităților- expresii algebrice care au sens și sunt scrise folosind semnele ≠ , > ,< , ≤ , ≥ . Semne de inegalități stricte sunt semnele mai mari decât și mai mici decât: > și< Неравенства, составленные с их помощью – inegalități stricte. Semne ale inegalităților nestricte- acestea sunt semnele „mai mare sau egal cu” și „mai mic sau egal cu”: ≥ și ≤. Inegalitățile întocmite cu ajutorul lor sunt − inegalități nestrictive. Am discutat mai sus cum se aplică inegalitățile stricte. De ce sunt folosite inegalitățile nestrictive? În practică, astfel de inegalități pot fi folosite pentru a defini cazurile descrise prin cuvintele „nu mai mult” și „nu mai puțin”. Expresia „nu mai mult” înseamnă mai puțin sau același - acest nivel de comparație corespunde semnului „mai mic sau egal cu” ≤ . La rândul său, „nu mai puțin” înseamnă același sau mai mult, iar acesta este semnul „mai mare decât sau egal cu” ≥. Astfel, inegalitățile nestricte, spre deosebire de cele stricte, fac posibil ca obiectele să fie egale. Adevărata inegalitate- inegalitatea care corespunde sensului de mai sus de inegalitate. Altfel, este necredincios. Să aducem exemple simple pentru claritate: Exemplul 2 Inegalitatea 5 ≠ 5 este falsă, deoarece de fapt numerele 5 și 5 sunt egale. Sau aceasta comparatie: Exemplul 3 Să presupunem că S este aria unei anumite figuri, în acest caz S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом. Asemănător ca înțeles cu termenul „adevarată inegalitate” sunt expresiile „doar inegalitatea”, „există o inegalitate” etc. Să descriem proprietățile inegalităților. Este un fapt evident că un obiect nu poate fi inegal cu el însuși, iar aceasta este prima proprietate a inegalității. A doua proprietate sună astfel: dacă primul obiect nu este egal cu al doilea, atunci al doilea nu este egal cu primul. Să descriem proprietățile corespunzătoare semnelor mai mare decât sau mai puțin decât: Definiția 5 Semnele inegalităților nestricte au și unele proprietăți: Definiția 6 Proprietatea tranzitivității face posibilă scrierea inegalităților duble, triple și așa mai departe, care sunt în esență lanțuri de inegalități. De exemplu: inegalitatea dublă - e > f > g sau inegalitatea triplă k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4. Rețineți că este convenabil să scrieți inegalitățile sub formă de lanțuri care includ semne diferite: egal, nu egal și semne de inegalități stricte și nestricte. De exemplu x = 2< y ≤ z < 15 . Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter Definiția și proprietățile de bază ale inegalităților.
Definitii:
inegalităților se numesc expresii ale formei A ≤
b), a>b (a ≥ b)
,
Unde AȘi b pot fi numere sau funcții.
Simboluri<(≤
)
,
>(
≥
)
numitsemne de inegalitatesi citeste in consecinta:
mai mic (mai mic sau egal cu), mai mare decât (mai mare sau egal cu).
Inegalitățile care se scriu folosind semnele > și<
,называются
strict
și inegalitățile în care sunt implicate semnele≥ și ≤,- nestrict. Inegalitățile de formă A si citeste in consecinta: X Mai mult A, dar mai puțin b (X mai mult sau egal A dar mai mic sau egal cu b
).
Există două tipuri de inegalități: numeric ( 2>0,7;½<6
) Șiinegalități cu o variabilă (5
x-40>0; x²-2x<0
)
.
Proprietățile inegalităților numerice:
Intervalele numerice
Numeric
interval
Nume
interval
Geometric
interpretare
DESPRE
definiții și proprietăți de bază.
Soluția inegalității
cu o variabilă se numește valoarea variabilei,
pisică
ceea ce o transformă într-o adevărată inegalitate numerică.
Rezolvați inegalitateaînseamnă a-i găsi toate soluțiile sau a demonstra că nu există soluții. Se numesc inegalitățile care au aceleași soluțiiechivalent.
Sunt considerate echivalente și inegalitățile care nu au soluții.
La rezolvarea inegalităților se folosesc următoarele: proprietăți :
1) Dacă transferăm de la o parte a inegalității la un alt termen cu semnul opus, 2) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau
împărțit la același număr pozitiv,
atunci obținem o inegalitate echivalentă.
3)
Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau
împărțit la același număr negativ,
schimbarea semnului inegalității în
opus,
atunci obținem o inegalitate echivalentă.
Hinegalități ale formei
ah> b(Oh ,
UndeA
Șib
-
unele numere sunt numite
inegalități liniare cu o variabilă. Dacă
a>0
, apoi inegalitatea
ax>beste echivalent cuinegalitate
si multe solutiiexistă un gol
Dacă
A<0
, apoi inegalitatea
ax>beste echivalent cu inegalitatea
si multe solutiiexistă un gol
inegalitatea ia forma
0∙
x>b, adică nu are solutii ,
Dacă
b≥0,
și adevărat pentru orice
X,Dacă
b<0
.
O modalitate analitică de a rezolva inegalitățile cu o variabilă.
Algoritm pentru rezolvarea unei inegalități cu o variabilă
Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților
.
Exemplul 1
Decide fie inegalitatea 3x≤ 15.
Soluţie:
DESPREfără o parte a inegalității
Rhai sa impartim la un număr pozitiv 3(proprietatea 2):
x ≤ 5. Mulțimea soluțiilor inegalității este un interval numeric (-∞;5] . Răspuns:(-
∞;5]
Exemplu 2
.
Decide inegalitatea este -10 x≥34 .
Soluţie:
DESPREfără o parte a inegalitățiiRhai sa impartim la un număr negativ -10,
în timp ce semnul inegalităţii este schimbat în sens invers(proprietate 3)
:
x ≤ -
3,4.
Mulțimea soluțiilor inegalității este intervalul (-∞;-3,4] .
Răspuns :
(-∞;-3,4]
.
Exemplul 3
Decide inegalitatea 18+6x>0.
Soluţie:
Mutăm termenul 18 cu semnul opus în partea stângă a inegalității(proprietatea 1): 6x>-18.
Împărțiți ambele părți la 6
(proprietate 2):
x>-3.
Mulțimea soluțiilor inegalității este intervalul (-3;+∞ ).
Răspuns: (-3;+∞
).
Exemplul 4Decide inegalități 3 (x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.
Soluţie:
Să deschidem parantezele: 3x-6-4x-8<2x-6-2
.
Mutăm termenii care conțin necunoscutul în partea stângă, și termeni care nu conțin necunoscut, în partea dreaptă
(proprietatea 1)
:
3x-4x-2x<6+8-6-2.
Iată membri similari:-3 x<6.
Împărțiți ambele părți la -3
(proprietate 3) :
x>-2.
Mulțimea soluțiilor inegalității este intervalul (-2;+∞ ).
Răspuns: (-2;+∞
).
Exemplu 5
.
Decide inegalităților
Soluţie:
Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu cel mai mic numitor comun al fracțiilor,
incluse în inegalitate, adică pe 6(proprietate 2).
Primim:
2x-3x≤12. De aici,
-
x≤12,x≥-12
.
Răspuns:
[
-12;+∞
).
Exemplu 6
.
Decide fie inegalitatea 3(2-x)-2>5-3x. Soluţie:
6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x, -3x+3x>5-4. Prezentăm termeni similari în partea stângă a inegalității și scriem rezultatul ca 0∙
x>1. Inegalitatea rezultată nu are soluții, deoarece pentru orice valoare a lui x se transformă într-o inegalitate numerică 0< 1, не являющееся верным.
Prin urmare, inegalitatea dată echivalentă cu aceasta nu are nici soluții. Răspuns:nu exista solutii. Exemplu 7
.
Decide fie inegalitatea 2(x+1)+5>3-(1-2x) .
Soluţie:
Simplificați inegalitatea prin extinderea parantezelor: 2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙x>-5.
Inegalitatea rezultată este adevărată pentru orice valoare a lui x, deoarece partea stângă este egală cu zero pentru orice x și 0>-5. Mulțimea soluție a inegalității este intervalul (-∞;+∞ ). Răspuns:(-∞;+∞
).
Exemplu 8
.
Pentru ce valori ale lui x are sens expresia:
b)
Soluţie:
a) Prin definiția rădăcinii pătrate aritmetice
următoarea inegalitate trebuie să fie valabilă
5x-3 ≥0.
Rezolvând, obținem 5x≥3, x≥0,6.
Deci, această expresie are sens pentru toți x din interval Adică, mai întâi se notează variabila inclusă în inegalitate, apoi, folosind semnul de apartenență ∈, indică cărui interval numeric aparțin valorile acestei variabile. În acest caz, expresia X∈ [ 2 ; 8 ] indică faptul că variabila X, incluse în inegalitatea 2 ≤ X≤ 8, ia toate valorile cuprinse între 2 și 8 inclusiv. Pentru aceste valori, inegalitatea va fi adevărată. Fiți atenți la faptul că răspunsul este scris folosind paranteze drepte, deoarece limitele inegalității 2 ≤ X≤ 8 și anume numerele 2 și 8 aparțin mulțimii soluțiilor acestei inegalități. Mulțimea soluțiilor inegalității 2 ≤ X≤ 8 poate fi reprezentat și folosind o linie de coordonate: Aici limitele intervalului numeric 2 și 8 corespund limitelor inegalității 2 ≤ X X 2 ≤ X≤ 8
. În unele surse, se numesc limite care nu aparțin decalajului numeric deschis
. Se numesc deschise deoarece intervalul numeric rămâne deschis datorită faptului că limitele sale nu aparțin acestui interval numeric. Cercul gol de pe linia de coordonate a matematicii se numește punct punctat
. A pune un punct înseamnă a-l exclude din intervalul numeric sau din mulțimea soluțiilor unei inegalități. Și în cazul în care limitele aparțin intervalului numeric, ele sunt numite închis(sau închis), deoarece astfel de granițe închid (închid) un decalaj numeric. Cercul umplut pe linia de coordonate indică, de asemenea, că granițele sunt închise. Există varietăți de intervale numerice. Să luăm în considerare fiecare dintre ele. fascicul numeric x ≥ a, Unde A X- rezolvarea inegalitatii. Lăsa A= 3 . Apoi inegalitatea x ≥ a va lua forma X≥ 3. Soluțiile acestei inegalități sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3, inclusiv numărul 3 însuși. Desenați o rază numerică dată de inegalitate X≥ 3, pe linia de coordonate. Pentru a face acest lucru, marcați pe el un punct cu coordonata 3 și restul zona din dreapta ei evidențiați cu liniuțe. Este partea dreaptă care iese în evidență, deoarece soluțiile inegalității X≥ 3 sunt numere mai mari decât 3. Și numerele mai mari de pe linia de coordonate sunt situate în dreapta X≥ 3 , iar zona marcată cu linii corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității X≥ 3
. Punctul 3, care este limita razei numerice, este prezentat ca un cerc umplut, deoarece limita inegalității X≥ 3 aparține mulțimii soluțiilor sale. În scris, dreapta numerică dată de inegalitate x ≥ a, [ A; +∞)
Se poate observa că pe o parte chenarul este încadrat de o paranteză pătrată, iar pe cealaltă de o paranteză rotundă. Acest lucru se datorează faptului că o graniță a razei numerice îi aparține, iar cealaltă nu, deoarece infinitul în sine nu are granițe și se înțelege că nu există niciun număr pe cealaltă parte care să închidă această rază numerică. Având în vedere că una dintre limitele dreptei numerice este închisă, acest decalaj este adesea numit fascicul de numere închis. Să scriem răspunsul la inegalitate X≥ 3 folosind notația cu raze numerice. Avem o variabilă A este 3 X ∈ [ 3 ; +∞)
Această expresie spune că variabila X incluse în inegalitate X≥ 3, ia toate valorile de la 3 la plus infinit. Cu alte cuvinte, toate numerele de la 3 la plus infinit sunt soluții ale inegalității X≥ 3. Limita 3 aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea X≥ 3 este nestrict. O rază numerică închisă se mai numește și interval numeric, care este dat de inegalitate x ≤ a . Soluții pentru inegalități x ≤ a A , inclusiv numărul în sine A. De exemplu, dacă A X≤ 2 . Pe linia de coordonate, limita 2 va fi reprezentată ca un cerc umplut, iar întreaga zonă va fi localizată stânga, va fi evidențiat cu liniuțe. De data aceasta, partea stângă este evidențiată, deoarece soluțiile la inegalitate X≤ 2 sunt numere mai mici decât 2. Iar numerele mai mici de pe linia de coordonate sunt situate la stânga X≤ 2 , iar zona punctată corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității X≤ 2
. Punctul 2, care este limita razei numerice, este prezentat ca un cerc umplut, deoarece limita inegalității X≤ 2 aparține mulțimii soluțiilor sale. Să scriem răspunsul la inegalitate X≤ 2 folosind notația cu raze numerice: X ∈ (−∞ ; 2 ]
X≤ 2. Limita 2 aparține mulțimii soluțiilor, deoarece inegalitatea X≤ 2 este nestrict. Raza de numere deschisă se numește interval numeric, care este dat de inegalitate x > a, Unde A este limita acestei inegalități, X- soluția inegalității. O linie numerică deschisă este similară în multe privințe cu o linie numerică închisă. Diferența este că granița A nu aparține intervalului, precum și graniței inegalității x > a nu aparține setului soluțiilor sale. Lăsa A= 3 . Apoi inegalitatea ia forma X> 3 . Soluțiile acestei inegalități sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3, cu excepția numărului 3 Pe linia de coordonate, limita razei numerelor deschise dată de inegalitate X> 3 va fi afișat ca un cerc gol. Întreaga zonă din dreapta va fi evidențiată cu linii: Aici punctul 3 corespunde limitei inegalității x > 3, iar zona evidențiată cu linii corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității x > 3 . Punctul 3, care este limita razei numerice deschise, este prezentat ca un cerc gol, deoarece limita inegalității x > 3 nu apartine multimii solutiilor sale. x > a ,
notată după cum urmează: (A; +∞)
Parantezele indică faptul că limitele razei numerice deschise nu îi aparțin. Să scriem răspunsul la inegalitate X> 3 folosind notația unui fascicul numeric deschis: X ∈ (3 ; +∞)
Această expresie spune că toate numerele de la 3 la plus infinit sunt soluții ale inegalității X> 3 . Limita 3 nu aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea X> 3 este strict. O rază numerică deschisă se mai numește și interval numeric, care este dat de inegalitate X< a
, Unde A este limita acestei inegalități, X- soluția inegalității .
Soluții pentru inegalități X< a
sunt toate numerele mai mici decât A , excluzând numărul A. De exemplu, dacă A= 2 , atunci inegalitatea ia forma X<
2. Pe linia de coordonate, limita 2 va fi afișată ca un cerc gol, iar întreaga zonă din stânga va fi evidențiată cu linii: Aici punctul 2 corespunde limitei inegalității X<
2, iar zona marcată cu linii corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității X<
2. Punctul 2, care este limita razei numerice deschise, este prezentat ca un cerc gol, deoarece limita inegalității X<
2 nu aparține mulțimii soluțiilor sale. În scris, fasciculul de numere deschis dat de inegalitate X< a
,
notată după cum urmează: (−∞ ; A)
Să scriem răspunsul la inegalitate X<
2 folosind notația unui fascicul numeric deschis: X ∈ (−∞ ; 2)
Această expresie spune că toate numerele de la minus infinit la 2 sunt soluții ale inegalității X<
2. Limita 2 nu aparține mulțimii soluțiilor deoarece inegalitatea X<
2 este strict. segment a ≤ x ≤ b, Unde AȘi b X- soluția inegalității. Lăsa A = 2
, b= 8 . Apoi inegalitatea a ≤ x ≤ b ia forma 2 ≤ X≤ 8 . Soluții la inegalitatea 2 ≤ X≤ 8 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 2 și mai mici decât 8. În plus, limitele inegalității 2 și 8 aparțin mulțimii soluțiilor sale, deoarece inegalitatea 2 ≤ X≤ 8 este nestrict. Desenați segmentul dat de inegalitatea dublă 2 ≤ X≤ 8 pe linia de coordonate. Pentru a face acest lucru, marcați punctele de pe el cu coordonatele 2 și 8 și marcați zona dintre ele cu linii: ≤ X≤ 8 , iar zona punctată corespunde setului de valori X X≤ 8 . Punctele 2 și 8, care sunt limitele segmentului, sunt afișate ca cercuri pline, deoarece limitele inegalității 2 ≤ X≤ 8 aparțin mulțimii soluțiilor sale. Pe literă, segmentul dat de inegalitate a ≤ x ≤ b notată după cum urmează: [ A; b ]
Parantezele pătrate de pe ambele părți indică faptul că limitele segmentului aparține către el. Să scriem răspunsul la inegalitatea 2 ≤ X X ∈ [ 2 ; 8 ]
Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8 inclusiv sunt soluții la inegalitatea 2 ≤ X≤ 8
.
interval se numește interval numeric, care este dat de inegalitatea dublă A< x < b
, Unde AȘi b sunt granițele acestei inegalități, X- soluția inegalității. Lăsa a = 2, b = 8. Apoi inegalitatea A< x < b
va lua forma 2< X< 8
. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8. Să descriem intervalul pe linia de coordonate: Aici punctele 2 și 8 corespund limitelor inegalității 2< X< 8
, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X < X< 8
. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < X< 8
не принадлежат множеству его решений. În scris, intervalul dat de inegalitate A< x < b,
notată după cum urmează: (A; b)
Parantezele de pe ambele părți indică faptul că limitele intervalului nu apartin către el. Să notăm răspunsul la inegalitatea 2< X< 8
с помощью этого обозначения: X ∈ (2 ; 8)
Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8, cu excepția numerelor 2 și 8, sunt soluții la inegalitatea 2< X< 8
. Jumătate de interval se numește interval numeric, care este dat de inegalitate a ≤ x< b
, Unde AȘi b sunt granițele acestei inegalități, X- soluția inegalității. Un semi-interval se mai numește și interval numeric, care este dat de inegalitate A< x ≤ b
. Una dintre limitele semi-intervalului îi aparține. De aici denumirea acestui interval numeric. În situația cu jumătate de interval a ≤ x< b
ea (semi-intervalul) aparține graniței din stânga. Și în situația cu jumătate de interval A< x ≤ b
deține chenarul drept. Lăsa A= 2
, b= 8 . Apoi inegalitatea a ≤ x< b
ia forma 2 ≤ X < 8
. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8. Desenați intervalul 2 ≤ X < 8
на координатной прямой: X < 8
, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X, care sunt soluții ale inegalității 2 ≤ X < 8
. Punctul 2, care este marginea stângă jumătate de interval, este afișat ca un cerc umplut, deoarece limita din stânga a inegalității 2 ≤ X < 8
aparține multe dintre soluțiile lui. Și punctul 8, care este marginea dreaptă jumătate de interval este afișat ca un cerc gol, deoarece limita dreaptă a inegalității 2 ≤ X < 8
Nu aparține
multe dintre soluțiile lui. a ≤ x< b,
notată după cum urmează: [ A; b)
Se poate observa că pe o parte chenarul este încadrat de o paranteză pătrată, iar pe cealaltă de o paranteză rotundă. Acest lucru se datorează faptului că o limită a semi-intervalului îi aparține, în timp ce cealaltă nu. Să scriem răspunsul la inegalitatea 2 ≤ X < 8
с помощью этого обозначения: X ∈ [ 2 ; 8)
Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8, inclusiv numărul 2, dar excluzând numărul 8, sunt soluții la inegalitatea 2 ≤ X < 8
. În mod similar, pe linia de coordonate, se poate descrie semi-intervalul dat de inegalitate A< x ≤ b
. Lăsa A= 2
, b= 8 . Apoi inegalitatea A< x ≤ b
va lua forma 2< X≤ 8 . Soluțiile la această dublă inegalitate sunt toate numerele care sunt mai mari decât 2 și mai mici decât 8, excluzând numărul 2, dar inclusiv numărul 8. Desenați jumătate de interval 2< X≤ 8 pe linia de coordonate: Aici punctele 2 și 8 corespund limitelor inegalității 2< X≤ 8 , iar zona punctată corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității 2< X≤ 8
. Punctul 2, care este marginea stângă jumătate de interval, este afișat ca un cerc gol, deoarece limita din stânga a inegalității 2< X≤ 8
nu apartin multe dintre soluțiile lui. Și punctul 8, care este marginea dreaptă jumătate de interval, este afișat ca un cerc umplut, deoarece limita dreaptă a inegalității 2< X≤ 8
aparține multe dintre soluțiile lui. În scris, semiintervalul dat de inegalitate A< x ≤ b,
notat astfel: A; b] . Să notăm răspunsul la inegalitatea 2< X≤ 8 folosind această notație: X ∈ (2 ; 8 ]
Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8, excluzând numărul 2, dar inclusiv numărul 8, sunt soluții la inegalitatea 2< X≤ 8
. Un interval numeric poate fi specificat folosind o inegalitate sau folosind o notație (paranteze sau paranteze drepte). În ambele cazuri, trebuie să se poată reprezenta acest interval numeric pe linia de coordonate. Să ne uităm la câteva exemple. Exemplul 1. Desenați intervalul numeric dat de inegalitate X> 5
Amintim că o inegalitate a formei X> A este specificată o rază numerică deschisă. În acest caz, variabila A este egal cu 5. Inegalitate X> 5 este strict, deci chenarul 5 va fi afișat ca un cerc gol. Suntem interesați de toate valorile X, care sunt mai mari de 5, astfel încât întreaga zonă din dreapta va fi evidențiată cu linii: Exemplul 2. Desenați intervalul numeric (5; +∞) pe linia de coordonate Acesta este același interval de număr pe care l-am descris în exemplul anterior. Dar de data aceasta este setat nu cu ajutorul inegalității, ci cu ajutorul notării intervalului numeric. Limita 5 este înconjurată de o paranteză, ceea ce înseamnă că nu aparține decalajului. În consecință, cercul rămâne gol. Simbolul +∞ indică faptul că ne interesează toate numerele care sunt mai mari decât 5. În consecință, întreaga zonă din dreapta marginii 5 este evidențiată cu linii: Exemplul 3. Desenați intervalul numeric (−5; 1) pe linia de coordonate. Parantezele rotunde de pe ambele părți indică intervale. Limitele intervalului nu îi aparțin, așa că limitele lui -5 și 1 vor fi afișate pe linia de coordonate ca cercuri goale. Întreaga zonă dintre ele va fi evidențiată cu linii: Exemplul 4. Desenați intervalul numeric dat de inegalitatea −5< X<
1
Acesta este același interval de număr pe care l-am descris în exemplul anterior. Dar de data aceasta se precizează nu cu ajutorul notării intervalului, ci cu ajutorul unei duble inegalități. O inegalitate a formei A< x < b
, intervalul este setat. În acest caz, variabila A este egal cu −5 și variabila b este egal cu unu. Inegalitatea −5< X<
1 este strict, deci limitele lui -5 și 1 vor fi desenate ca cercuri goale. Suntem interesați de toate valorile X, care sunt mai mari decât −5 , dar mai putin de unul, astfel încât întreaga zonă dintre punctele −5 și 1 va fi evidențiată cu linii: Exemplul 5. Desenați intervale numerice [-1; 2] și De data aceasta vom desena două goluri pe linia de coordonate simultan. Parantezele pătrate de pe ambele părți indică segmente. Limitele segmentului îi aparțin, deci limitele segmentelor [-1; 2] și va fi reprezentat pe linia de coordonate ca cercuri pline. Întreaga zonă dintre ele va fi evidențiată cu linii. Pentru a vedea clar golurile [−1; 2] și , primul poate fi reprezentat în zona superioară, iar al doilea în partea de jos. Deci hai sa o facem: Exemplul 6. Desenați intervale numerice [-1; 2) și (2; 5] Parantezele pătrate pe o parte și parantezele rotunde pe cealaltă denotă jumătate de intervale. Una dintre limitele semi-intervalului îi aparține, iar cealaltă nu. În cazul semiintervalului [-1; 2) granița din stânga îi va aparține, dar cea dreaptă nu. Aceasta înseamnă că chenarul din stânga va fi afișat ca un cerc umplut. Chenarul din dreapta va fi afișat ca un cerc gol. Iar în cazul semiintervalului (2; 5] numai marginea din dreapta îi va aparține, iar cea din stânga nu. Aceasta înseamnă că marginea din stânga va fi afișată ca un cerc umplut. Chenarul din dreapta va fi afișat ca un cerc gol. Desenați intervalul [-1; 2) pe regiunea superioară a dreptei de coordonate, iar intervalul (2; 5] — pe cea inferioară: O inegalitate care, prin transformări identice, poate fi redusă la formă toporul > b(sau la vedere topor< b
), vom suna inegalitatea liniară cu o variabilă. Într-o inegalitate liniară toporul > b
, X este variabila ale cărei valori se găsesc, A este coeficientul acestei variabile, b este granița inegalității, care, în funcție de semnul inegalității, poate fie să aparțină mulțimii soluțiilor sale, fie să nu-i aparțină. De exemplu, inegalitatea 2 X> 4 este o inegalitate a formei toporul > b. În ea, rolul variabilei A joacă numărul 2, rolul unei variabile b(inegalitatea limită) joacă numărul 4. Inegalitatea 2 X> 4 poate fi făcut și mai simplu. Dacă împărțim ambele părți la 2, atunci obținem inegalitatea X> 2
Inegalitatea rezultată X> 2 este, de asemenea, o inegalitate a formei toporul > b, adică o inegalitate liniară cu o variabilă. În această inegalitate, rolul variabilei A unitatea joacă. Mai devreme spuneam că nu se înregistrează coeficientul 1. Rolul variabilei b joaca numarul 2. Pe baza acestor informații, să încercăm să rezolvăm câteva inegalități simple. În timpul rezolvării, vom efectua transformări elementare de identitate pentru a obține o inegalitate a formei toporul > b
Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea X− 7 < 0
Adaugă la ambele părți ale inegalității numărul 7 X− 7 + 7 < 0 + 7
Pe partea stângă va rămâne X, iar partea dreaptă devine egală cu 7 X< 7
Prin transformări elementare, am redus inegalitatea X− 7 < 0
к равносильному неравенству X< 7
. Решениями неравенства X< 7
являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое. Când inegalitatea este adusă la formă X< a
(sau x > a), poate fi considerat deja rezolvat. Inegalitatea noastră X− 7 < 0
тоже приведено к такому виду, а именно к виду X< 7
. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой. Să scriem răspunsul folosind un interval numeric. În acest caz, răspunsul va fi o rază numerică deschisă (amintim că raza numerică este dată de inegalitatea X< a
și se notează ca (−∞ ; A)
X ∈ (−∞ ; 7)
Pe linia de coordonate, limita 7 va fi afișată ca un cerc gol, iar întreaga zonă din stânga limitei va fi evidențiată cu linii: Pentru a verifica, luăm orice număr din intervalul (−∞ ; 7) și îl înlocuim în inegalitatea X< 7
вместо переменной X. Luați, de exemplu, numărul 2 2 < 7
S-a dovedit inegalitatea numerică corectă, ceea ce înseamnă că soluția este corectă. Să luăm un alt număr, de exemplu, numărul 4 4 < 7
S-a dovedit inegalitatea numerică corectă. Deci decizia este corectă. Și pentru că inegalitatea X< 7
равносильно исходному неравенству X - 7 < 0
, то решения неравенства X< 7
будут совпадать с решениями неравенства X - 7 < 0
. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство X - 7 < 0
2 − 7 < 0
−5 < 0 — Верное неравенство
4 − 7 < 0
−3 < 0 Верное неравенство
Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea −4 X < −16
Împărțiți ambele părți ale inegalității la −4. Nu uitați că atunci când împărțiți ambele părți ale inegalității la un număr negativ, semn de inegalitate se schimba in sens invers: Am redus inegalitatea −4 X < −16
к равносильному неравенству X> 4 . Soluții pentru inegalități X> 4 vor fi toate numerele care sunt mai mari decât 4. Limita 4 nu aparține mulțimii de soluții, deoarece inegalitatea este strictă. X> 4 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric: Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea 3y + 1 > 1 + 6y
Reprogramare 6 y din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Și vom transfera 1 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând din nou semnul: 3y− 6y> 1 − 1
Iată termeni similari: −3y > 0
Împărțiți ambele părți la −3. Nu uitați că atunci când împărțiți ambele părți ale inegalității la un număr negativ, semnul inegalității este inversat: Soluții pentru inegalități y< 0
являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0
на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка: Exemplul 4. Rezolvați inegalitatea 5(X− 1) + 7 ≤ 1 − 3(X+ 2)
Să extindem parantezele în ambele părți ale inegalității: Mutare -3 X din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Vom transfera termenii -5 și 7 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând din nou semnele: Iată termeni similari: Împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la 8 Soluțiile inegalității sunt toate numerele care sunt mai mici decât . Granița aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea nu este strictă. Exemplul 5. Rezolvați inegalitatea Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 2. Acest lucru va scăpa de fracția din partea stângă: Acum mutam 5 din partea stanga in partea dreapta prin schimbarea semnului: După reducerea termenilor similari, obținem inegalitatea 6 X> 1 . Împărțiți ambele părți ale acestei inegalități la 6. Apoi obținem: Soluțiile inegalității sunt toate numerele mai mari decât . Granița nu aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea este strictă. Desenați setul de soluții ale inegalității pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca un interval numeric: Exemplul 6. Rezolvați inegalitatea Înmulțiți ambele părți cu 6 După reducerea termenilor similari, obținem inegalitatea 5 X< 30
. Разделим обе части этого неравенства на 5 Soluții pentru inegalități X< 6
являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является X< 6
строгим. Desenați setul de soluții ale inegalității X< 6
на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка: Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 10 În inegalitatea rezultată, deschideți parantezele din partea stângă: Transferați membri fără Xîn partea dreaptă Prezentăm termeni similari în ambele părți: Împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la 10 Soluții pentru inegalități X≤ 3,5 sunt toate numerele care sunt mai mici de 3,5. Limita 3.5 aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea este X≤ 3,5 nestrict. Desenați setul de soluții ale inegalității X≤ 3,5 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric: Exemplul 8. Rezolvarea inegalității 4< 4X< 20
Pentru a rezolva o astfel de inegalitate, avem nevoie de o variabilă X liber de coeficientul 4. Atunci putem spune în ce interval se află soluția acestei inegalități. Pentru a elibera o variabilă X din coeficient, puteți împărți termenul 4 X prin 4. Dar regula în inegalități este că dacă împărțim un membru al inegalității la un număr, atunci același lucru trebuie făcut cu restul termenilor incluși în această inegalitate. În cazul nostru, trebuie să împărțim la 4 toți cei trei termeni ai inegalității 4< 4X< 20
Soluții la inegalitate 1< X< 5
являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < X< 5
является строгим. Desenați setul de soluții ale inegalității 1< X< 5
на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка: Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea −1 ≤ −2 X≤ 0
Împărțiți toți termenii inegalității la −2 Am obținut inegalitatea 0,5 ≥ X≥ 0. Este de dorit să scrieți o inegalitate dublă, astfel încât termenul mai mic să fie situat în stânga și cel mai mare în dreapta. Prin urmare, ne rescriem inegalitatea după cum urmează: 0 ≤ X≤ 0,5
Soluții la inegalitatea 0 ≤ X≤ 0,5 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 0 și mai mici de 0,5. Limitele 0 și 0,5 aparțin mulțimii soluțiilor, deoarece inegalitatea 0 ≤ X≤ 0,5 este nestrict. Desenați mulțimea soluțiilor inegalității 0 ≤ X≤ 0,5 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric: Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea Înmulțiți ambele inegalități cu 12 Să deschidem parantezele din inegalitatea rezultată și să prezentăm termeni similari: Împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la 2 Soluții pentru inegalități X≤ −0,5 sunt toate numerele care sunt mai mici de −0,5. Limita −0,5 aparține mulțimii de soluții deoarece inegalitatea X≤ −0,5 este nestrict. Desenați setul de soluții ale inegalității X≤ −0,5 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric: Exemplul 11. Rezolvați inegalitatea Înmulțiți toate părțile inegalității cu 3 Acum scădeți 6 din fiecare parte a inegalității rezultate Împărțim fiecare parte a inegalității rezultate la −1. Nu uitați că atunci când împărțiți toate părțile inegalității la un număr negativ, semnul inegalității este inversat: Soluții la inegalitatea 3 ≤ a≤ 9 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3 și mai mici decât 9. Granițele 3 și 9 aparțin mulțimii de soluții, deoarece inegalitatea 3 ≤ a≤ 9 nu este strict. Desenați mulțimea soluțiilor inegalității 3 ≤ a≤ 9 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric: Sunt inegalități care nu au soluții. Aceasta este, de exemplu, inegalitatea 6 X> 2(3X+ 1). În procesul de rezolvare a acestei inegalități, vom ajunge la faptul că semnul inegalității > nu justifică localizarea ei. Să vedem cum arată. Extindem parantezele din partea dreaptă a acestei inegalități, obținem 6 X> 6X+ 2 . Reprogramare 6 X din partea dreaptă în partea stângă, schimbând semnul, obținem 6 X− 6X> 2 . Aducem termeni similari și obținem inegalitatea 0 > 2, ceea ce nu este adevărat. Pentru o mai bună înțelegere, rescriem reducerea termenilor similari din partea stângă, după cum urmează: Avem inegalitatea 0 X> 2 . În partea stângă este produsul, care va fi egal cu zero pentru oricare X. Și zero nu poate fi mai mare decât numărul 2. De aici inegalitatea 0 X> 2 nu are soluții. X> 2 , atunci nu are soluții și inegalitatea inițială 6 X> 2(3X+ 1)
. Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 3 În inegalitatea rezultată, transferăm termenul 12 X din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Apoi dam termeni similari: Partea dreaptă a inegalității rezultate pentru orice X va fi egal cu zero. Și zero nu este mai puțin de -8. Prin urmare, inegalitatea 0 X< −8
не имеет решений. Și dacă inegalitatea echivalentă redusă este 0 X< −8
, то не имеет решений и исходное неравенство Răspuns: fara solutii. Există inegalități care au un număr infinit de soluții. Astfel de inegalități devin adevărate pentru orice X
. Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea 5(3X− 9) < 15X
Să extindem parantezele din partea dreaptă a inegalității: Reprogramare 15 X din partea dreaptă în partea stângă, schimbând semnul: Iată termenii similari din partea stângă: Avem inegalitatea 0 X<
45 . În partea stângă este produsul, care va fi egal cu zero pentru oricare X. Și zero este mai mic decât 45. Deci soluția inegalității 0 X<
45 este orice număr. X<
45 are un număr infinit de soluții, apoi inegalitatea inițială 5(3X− 9) < 15X
are aceleasi solutii. Răspunsul poate fi scris ca un interval numeric: X ∈ (−∞; +∞)
Această expresie spune că soluțiile inegalității 5(3X− 9) < 15X
sunt toate numerele de la minus infinit la plus infinit. Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea: 31(2X+ 1) − 12X> 50X
Să extindem parantezele din partea stângă a inegalității: Să reprogramăm 50 X din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Și vom transfera termenul 31 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând din nou semnul: Iată termeni similari: Avem inegalitatea 0 x >-31 . În partea stângă este produsul, care va fi egal cu zero pentru oricare X. Și zero este mai mare decât −31 . Deci soluția inegalității 0 X<
−31 este orice număr. Și dacă inegalitatea echivalentă redusă este 0 x >−31 are un număr infinit de soluții, apoi inegalitatea inițială 31(2X+ 1) − 12X> 50X
are aceleasi solutii. Să scriem răspunsul ca un interval numeric: X ∈ (−∞; +∞)
Ți-a plăcut lecția? 
Nu egal, mai mult, mai puțin
Scrierea inegalităților folosind semne
Inegalități stricte și nestricte
Definiția 3 Inegalități adevărate și false
Definiția 4 Proprietățile inegalităților
Dublu, triplu etc. inegalităților
Inegalitate
interval închis (segment) cu capete a și b ,a
interval deschis (interval) cu capete a și b ,a
intervale semideschise (semi-intervale) cu capete a și b ,a
goluri infinite (raze)
goluri infinite (grinzi deschise)
interval infinit (linie numerică)
Definiții :
Multe inegalități în procesul transformărilor sunt reduse la inegalități liniare.
,
fascicul numeric
Raza de numere deschisă
Segment de linie
Interval
Jumătate de interval
Imagine a intervalelor numerice pe linia de coordonate
Exemple de rezolvare a inegalităților
Când nu există soluții
.Când există soluții infinite
Sarcini pentru soluție independentă
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții