Cum se măsoară o diagonală de 6 pe 4. Aria unui dreptunghi. Laturile opuse sunt paralele

4. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin diagonala unui pătrat:

5. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin diametrul cercului (descris):

6. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin sinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

7. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin cosinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii acestui unghi:

8. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin sinusul unghiului acut dintre diagonale și aria dreptunghiului:

Unghiul dintre latura și diagonala unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin diagonală și latură:

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin unghiul dintre diagonale:

Unghiul dintre diagonalele unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin unghiul dintre latură și diagonală:

β = 2α

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin arie și diagonală.

este un paralelogram în care toate unghiurile sunt egale cu 90°, iar laturile opuse sunt paralele și egale în perechi.

Un dreptunghi are câteva proprietăți de nerefuzat care sunt utilizate în rezolvarea multor probleme, în formule pentru aria unui dreptunghi și perimetrul acestuia. Iată-le:

Lungimea unei laturi sau diagonale necunoscute a unui dreptunghi se calculează folosind sau folosind teorema lui Pitagora. Aria unui dreptunghi poate fi găsită în două moduri - prin produsul laturilor sale sau prin formula pentru aria unui dreptunghi prin diagonală. Prima și cea mai mare formulă simplă arata asa:

Un exemplu de calcul al ariei unui dreptunghi folosind această formulă este foarte simplu. Cunoscând două laturi, de exemplu a = 3 cm, b = 5 cm, putem calcula cu ușurință aria dreptunghiului:
Constatăm că într-un astfel de dreptunghi aria va fi egală cu 15 metri pătrați. cm.

Aria unui dreptunghi prin diagonale

Uneori trebuie să aplicați formula pentru aria unui dreptunghi prin diagonale. Necesită nu numai aflarea lungimii diagonalelor, ci și a unghiului dintre ele:

Să ne uităm la un exemplu de calcul al ariei unui dreptunghi folosind diagonale. Să fie dat un dreptunghi cu diagonala d = 6 cm și unghi = 30°. Inlocuim datele in formula deja cunoscuta:

Deci, exemplul de calcul al ariei unui dreptunghi prin diagonală ne-a arătat că găsirea ariei în acest fel, dacă este dat un unghi, este destul de simplă.
Să ne uităm la o altă problemă interesantă care ne va ajuta să ne întindem puțin creierul.

Sarcină: Dat un pătrat. Suprafata sa este de 36 de metri patrati. cm Aflați perimetrul unui dreptunghi a cărui lungime a uneia dintre laturile sale este de 9 cm și a cărui aria este aceeași cu cea a pătratului dat mai sus.
Deci avem mai multe condiții. Pentru claritate, să le scriem pentru a vedea toți parametrii cunoscuți și necunoscuți:
Laturile figurii sunt paralele și egale în perechi. Prin urmare, perimetrul figurii este egal cu dublul sumei lungimilor laturilor:
Din formula pentru aria unui dreptunghi, care este egală cu produsul celor două laturi ale figurii, găsim lungimea laturii b
De aici:
Inlocuim datele cunoscute si gasim lungimea laturii b:
Calculați perimetrul figurii:
Așa, cunoscând câteva formule simple, poți calcula perimetrul unui dreptunghi, cunoscându-i aria.

Dreptunghi este un patrulater în care fiecare unghi este drept.

Dovada

Proprietatea este explicată prin acțiunea caracteristicii 3 a paralelogramului (adică \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Laturile opuse sunt egale.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Laturile opuse sunt paralele.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Laturile adiacente sunt perpendiculare între ele.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Diagonalele dreptunghiului sunt egale.

AC = BD

Dovada

Conform proprietatea 1 dreptunghiul este un paralelogram, ceea ce înseamnă AB = CD.

Prin urmare, \triangle ABD = \triangle DCA pe două catete (AB = CD și AD - articulație).

Dacă ambele figuri ABC și DCA sunt identice, atunci ipotenuzele lor BD și AC sunt de asemenea identice.

Deci AC = BD.

Dintre toate figurile (doar de paralelograme!), doar dreptunghiul are diagonale egale.

Să demonstrăm și asta.

ABCD este un paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD după condiție. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA deja pe trei laturi.

Se dovedește că \angle A = \angle D (ca unghiurile unui paralelogram). Și \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Tragem concluzia că \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Toate sunt 90^(\circ) . În total - 360^(\circ) .

Dovedit!

6. Pătratul unei diagonale este egal cu suma pătratelor celor două laturi adiacente ale acesteia.

Această proprietate este adevărată datorită teoremei lui Pitagora.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice identice.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Punctul de intersecție al diagonalelor le împarte la jumătate.

AO = BO = CO = DO

9. Punctul de intersecție al diagonalelor este centrul dreptunghiului și al cercului circumferitor.

10. Suma tuturor unghiurilor este de 360 ​​de grade.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Toate unghiurile unui dreptunghi sunt drepte.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Diametrul unui cerc circumscris unui dreptunghi este egal cu diagonala dreptunghiului.

13. Puteți descrie oricând un cerc în jurul unui dreptunghi.

Această proprietate este adevărată datorită faptului că suma unghiurilor opuse ale unui dreptunghi este 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Un dreptunghi poate conține un cerc înscris și doar unul dacă are laturile de lungime egală (este un pătrat).

Problema găsirii diagonalei unui dreptunghi poate fi formulată în trei moduri: în moduri diferite. Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele. Metodele depind de datele cunoscute, deci cum găsiți diagonala unui dreptunghi?

Dacă se cunosc două laturi

În cazul în care se cunosc două laturi ale dreptunghiului a și b, pentru a găsi diagonala este necesar să folosim teorema lui Pitagora: a 2 + b 2 =c 2, aici a și b sunt catetele triunghiului dreptunghic, c este ipotenuza triunghiului dreptunghic. Când o diagonală este desenată într-un dreptunghi, aceasta este împărțită în două triunghiuri dreptunghiulare. Cunoaștem două laturi ale acestui triunghi dreptunghic (a și b). Adică, pentru a găsi diagonala unui dreptunghi, este necesară următoarea formulă: c=√(a 2 +b 2), aici c este lungimea diagonalei dreptunghiului.

După latură și unghi cunoscute, între latură și diagonală

Fie cunoscute latura dreptunghiului a și unghiul pe care îl formează cu diagonala dreptunghiului α. Mai întâi, să ne amintim formula cosinus: cos α = a/c, aici c este diagonala dreptunghiului. Cum se calculează diagonala unui dreptunghi din această formulă: c = a/cos α.

De-a lungul unei laturi cunoscute, unghiul dintre latura adiacentă a dreptunghiului și diagonală.

Deoarece diagonala unui dreptunghi împarte dreptunghiul în sine în două triunghiuri dreptunghiulare, este logic să ne întoarcem la definiția sinusului. Sinus este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză sin α = b/c. De aici derivăm formula pentru găsirea diagonalei unui dreptunghi, care este și ipotenuza unui triunghi dreptunghic: c = b/sin α.

Acum ești priceput în această chestiune. Îți poți face plăcere profesorului de geometrie mâine!

Conţinut:

O diagonală este un segment de linie care leagă două vârfuri opuse ale unui dreptunghi. Un dreptunghi are două diagonale egale. Dacă laturile unui dreptunghi sunt cunoscute, diagonala poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora deoarece diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare. Dacă laturile nu sunt date, dar se cunosc alte cantități, cum ar fi aria și perimetrul sau raportul de aspect, puteți găsi laturile dreptunghiului și apoi utilizați teorema lui Pitagora pentru a calcula diagonala.

Pași

1 Pe laterale

1. 1 Scrieți teorema lui Pitagora. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Înlocuiți valorile laturilor în formulă. Sunt date în problemă sau trebuie măsurate. Valorile laterale sunt înlocuite cu un 3
   • În exemplul nostru:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 După suprafață și perimetru

     1. 1 Formula: S = l w (În figură, în loc de S, este folosită denumirea A.)
     2. 2 Această valoare este înlocuită cu S 3 Rescrieți formula pentru a izola w 4 Scrieți formula pentru a calcula perimetrul unui dreptunghi. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Înlocuiți perimetrul dreptunghiului în formulă. Această valoare este înlocuită cu P 6 Împărțiți ambele părți ale ecuației la 2. Veți obține suma laturilor dreptunghiului, și anume w + l 7 Înlocuiți expresia pentru a calcula w 8 în formulă Scapa de fractie. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu l 9 Setați ecuația la 0. Pentru a face acest lucru, scădeți termenul variabil de ordinul întâi din ambele părți ale ecuației.
        • În exemplul nostru:
          12 l = 35 + l 2 10 Ordonați termenii ecuației. Primul termen va fi termenul variabil de ordinul doi, apoi termenul variabil de ordinul întâi și apoi termenul liber. În același timp, nu uitați de semnele („plus” și „minus”) care apar în fața membrilor. Rețineți că ecuația va fi scrisă ca o ecuație pătratică.
          • În exemplul nostru 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • În exemplul nostru, ecuația este 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Găsiți l 13 Scrieți teorema lui Pitagora. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Utilizați teorema lui Pitagora deoarece fiecare diagonală a unui dreptunghi o împarte în două triunghiuri dreptunghice egale. Mai mult, laturile dreptunghiului sunt catetele triunghiului, iar diagonala dreptunghiului este ipotenuza triunghiului.
            • 14 Aceste valori sunt înlocuite cu un 15 Pătrați lungimea și lățimea, apoi adăugați rezultatele. Amintiți-vă că atunci când pătrați un număr, acesta se înmulțește cu el însuși.
              • În exemplul nostru:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Utilizați un calculator pentru a găsi rapid rădăcina pătrată. De asemenea, puteți utiliza un calculator online. Veți găsi c

                3 După suprafață și raport de aspect

                1. 1 Scrieți o ecuație care caracterizează raportul laturilor. Izolați l 2 Scrieți formula pentru a calcula aria unui dreptunghi. Formula: S = l w (În figură, în loc de S, este folosită denumirea A.)
                   • Această metodă este aplicabilă și atunci când perimetrul dreptunghiului este cunoscut, dar atunci trebuie să utilizați formula pentru a calcula perimetrul, nu aria. Formula pentru calcularea perimetrului unui dreptunghi: P = 2 (w + l)
                2. 3 Înlocuiți aria dreptunghiului în formulă. Această valoare este înlocuită cu S 4 În formulă, înlocuiți o expresie care caracterizează relația părților.În cazul unui dreptunghi, puteți înlocui o expresie pentru a calcula l 5 Scrieți o ecuație pătratică. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele și setați ecuația egală cu zero.
                   • În exemplul nostru:
                     35 = w(w+2)6 Factorizați ecuația pătratică. A obține instrucțiuni detaliate, citește.
                     • În exemplul nostru, ecuația este 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Găsiți w 8 Înlocuiți lățimea (sau lungimea) găsită în ecuația care caracterizează raportul de aspect.În acest fel, puteți găsi cealaltă parte a dreptunghiului.
                       • De exemplu, dacă calculezi că lățimea unui dreptunghi este de 5 cm și raportul de aspect este dat de ecuația l = w + 2 9 Scrieți teorema lui Pitagora. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Utilizați teorema lui Pitagora deoarece fiecare diagonală a unui dreptunghi o împarte în două triunghiuri dreptunghice egale. Mai mult, laturile dreptunghiului sunt catetele triunghiului, iar diagonala dreptunghiului este ipotenuza triunghiului.
                       • 10 Înlocuiți valorile lungimii și lățimii în formulă. Aceste valori sunt înlocuite cu un 11 Pătrați lungimea și lățimea, apoi adăugați rezultatele. Amintiți-vă că atunci când pătrați un număr, acesta se înmulțește cu el însuși.
                         • În exemplul nostru:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Utilizați un calculator pentru a găsi rapid rădăcina pătrată. De asemenea, puteți utiliza un calculator online. Veți găsi c (stil de afișare c), adică ipotenuza triunghiului și, prin urmare, diagonala dreptunghiului.
                           • În exemplul nostru:
                             74 = c 2 (stil de afișare 74=c^(2))
                             74 = c 2 (stil de afișare (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (stil de afișare 8,6024=c)
                             Astfel, diagonala unui dreptunghi a cărui lungime este cu 2 cm mai mare decât lățimea și a cărui suprafață este de 35 cm 2 este de aproximativ 8,6 cm.