Вынужденные и затухающие колебания. Московский государственный университет печати. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Затухающие колебания.

До сих пор мы рассматривали колебательное
движение тела так, как если бы оно происходило
совершенно беспрепятственно. Однако, если
движение происходит в какой либо среде, то эта
среда оказывает сопротивление движению,
стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела
со средой представляет собой сложный процесс,
приводящий, в конце концов, к переходу энергии
движущегося тела в тепло,- как говорят в
физике, к рассеянию или диссипации энергии.
Этот процесс не является уже чисто
механическим и его детальное изучение требует
привлечения также и других разделов физики. С
чисто механической точки зрения он может быть
описан путем введения дополнительной (кроме
возвращающей) силы, появляющейся в результате
движения и направленной противоположно ему.
Эту силу называют силой трения. При достаточно
малых скоростях движения она пропорциональна
скорости тела, и ее проекция на ось х

где г - некоторая положительная постоянная,
характеризующая взаимодействие тела со средой,
а знак минус указывает, что сила направлена в
сторону, обратную скорости.

Выясним сначала, как влияет наличие такого
трения на колебательное движение. Будем считать
при этом, что сила трения настолько мала, что
вызываемая ею потеря энергии тела (за время
одного периода колебаний) относительно мала.

Запишем теперь второй закон Ньютона для

Деля это уравнение на m и перенося все члены
уравнения в левую часть, получим

2. Вынужденные колебания.

Во всякой реальной колебательной системе
всегда происходят те или иные процессы трения.
Поэтому свободные колебания, возникающие в
системе под влиянием начального толчка, с
течением времени затухают.

Для того, чтобы возбудить в системе
незатухающие колебания, необходимо

компенсировать потери энергии, обусловленные
трением. Такая компенсация может производиться
внешними (по отношению к колебательной
системе) источниками энергии. Простейшим
случаем является воздействие на систему
переменной внешней силы f BH , изменяющейся со
временем по гармоническому закону

в системе возникнут колебания, происходящие в
такт с изменением силы. Эти колебания
называются вынужденными. Движение системы
будет представлять собой, вообще говоря,
наложение обоих колебаний - собственных

система будет совершать лишь вынужденные
колебания.

Найдем уравнение вынужденных колебаний.
Для этого в уравнение (6.9) (второй закон
Ньютона) добавим вынуждающую силу (6.14):

Частота незатухающих колебаний. Полученное
уравнение называется уравнением затухающих
колебаний. Оно переходит в уравнение

Деля (6.15) на m и вводя прежние обозначения,
получим

Это и есть уравнение вынужденных
колебаний. Поскольку вынужденные колебания
происходят с частотой Q, будем искать решение
уравнения (6.16) в виде

Для их нахождения воспользуемся методом,
который называется методом векторных
диаграмм, удобным при сложении нескольких

то есть частота и период затухающих колебаний

В том случае, когда Р > со 0 (то есть движение
при достаточно большом трении), затухание
движения будет происходить монотонно без
колебаний. Такой процесс называется
апериодическим .

(на некотором вспомогательном чертеже -
векторной диаграмме) как проекцию на
горизонтальную ось ОХ радиуса - вектора,

Во всякой реальной колебательной системе обычно имеют место силы трения (сопротивления), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Сила трения выражается формулой:

где r – коэффициент трения, а знак минус указывает, что на­правление силы всегда противоположно скорости движения.

Если силы трения отсутствуют, формула (2.4) дает диффе­ренциальное уравнение:

которое имеет, решение в виде:

где ω 0 = . Колебания, происходящие при отсутствии сил трения, называются собственными или свободными. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.

Допустим теперь, что в системе действуют две силы: F УПР и F ТР. Уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и обозначим: .

Тогда получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, энергия которых уменьшается с течением времени:

Этому уравнению удовлетворяет функция: х = А 0 е - d t Cos (wt + j 0),

где Значит, сейчас уже частота колебания зависит от , и . Амплитуда колебания будет с течением време­ни изменяться по экспоненциальному закону . Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды колебания с течением времени, называется коэффициентом затухания. Произ­ведение коэффициента затухания на период колебания T, равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:

есть безразмерная величина, и называется логарифмическим декре­ментом затухания. Колебания, происходящие в системе при нали­чии сил трения, называются затухающими. Частота этих колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь (с их увеличением частота уменьшается). Для получения незату­хающих колебаний система должна подвергаться действию еще и внешней силы, непрерывно изменяющейся со временем по какому-нибудь закону. В частности, предположим, что внешняя сила явля­ется синусоидальной:

тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и к ранее принятым обозна­чениям добавим . В этом случае уравнение примет вид:

Уравнение характеризует уже вынужденные незатухающие ко­лебания под действием внешней периодической силы. Решение этого уравнения имеет вид:

x = A Cos (ωt-φ),

где А – амплитуда колебания, φ – фаза, равная: φ = аrctg .

Амплитуда вы­нужденных колебаний системы:

где – угловая частота собственных колебаний системы; – угловая частота вынуждающей силы.

При вынужденных колебаниях имеет место явление резонан­са, вызывающее резкое увеличение амплитуды вынужденных колеба­ний при совпадении собственной угловой частоты колебаний и уг­ловой частоты вынуждающей силы. Поскольку вынужденные колеба­ния имеют широкое применение в технике, то явление резонанса должно всегда учитываться, ибо оно может быть полезным в от­дельных процессах, а может быть и опасным явлением.

Важное место в машиностроении занимают вибрации (от лат. vibratio – колебание) – меха­нические колебания упругих тел различной формы. Это понятие обычно применяется по отношению к механическим колебаниям дета­лей машин, конструкций и сооружений, рассматриваемых в инженер­ном деле.

Раздел 5. Физика волновых процессов

Дата21/12/12

№ урока : 33

Тема : Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.

Цель урока : объяснить, почему большее значение имеют вынужденные колебания, а не свободные; как устанавливаются вынужденные колебания; когда наступает резкое возрастание амплитуды и возникает резонанс;

Задачи:

Образовательная – обеспечить знания учащимися понятия свободных и вынужденных колебаний; объяснить, значение вынужденных колебаний; установить происхождение вынужденных колебаний, возникновение резонанса.

Развивающая – развитие понятие применения и вреда приносимым резонансом в природе; развитие образного мышления колебательных процессов в природе; формировать умение работы с книгой.

Воспитывающая – воспитание сознательного и серьезного отношения к учебной дисциплине. Формирование взглядов на развитие природы колебательных процессов и связи с окружающим миром. Воспитание интереса к предмету

Тип урока: урок формирование новых знаний

Методы: словесный, лекция, демонстрационный, объяснительно-иллюстративный

Виды деятельности учащихся: работа с учебником, самостоятельная работа с учебником.

План урока:

Изучение новой темы.

Дом задание § 28, упр. 23

Итоги урока. Организация рефлексии.

Ход урока:

Орг. момент (приветствие, проверка готовности к уроку, мотивация учебной деятельности, настрой учащихся).

Актуализация имеющих необходимых знаний.

Проверка домашнего задания методом индивидуального опроса.

Что называется механическими колебаниями? (Механическими колебаниями называют движения тела, повторяющиеся точно или приблизительно через одинаковые промежутки времени.)

Назовите основные характеристики механических колебаний (Основными характеристиками механических колебаний являются: смещение, амплитуда, частота, период.)

Что является смещением? (Смещение - это отклонение тела от положения равновесия.)

Что называется амплитудой колебаний? (Амплитуда - модуль максимального отклонения от положения равновесия.)

Что называется частотой колебания? (Частота - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.)

Что называется периодом колебаний? (Период - время одного полного колебания, т. е. минимальный промежуток времени, через который происходит повторение процесса.)

Как связаны между собой период и частота колебаний? (Период и частота связаны соотношением: ν = 1/Т)

Как происходит преобразование энергии в колебательных системах без трения?

Как силы сопротивления действуют на колеблющееся тело?

Какие колебания являются затухающими?

Изучение новой темы.

Вынужденные колебания пружинного маятника.

Рассмотрим, как в колебательной системе, обладающей собственной частотой возникают и поддерживаются вынужденные колебания. Если вращать рукоятку установки, то на тело начнет действовать периодическая внешняя сила. Тело будет раскачиваться с увеличивающейся амплитудой. Через некоторое время, колебания будут иметь установившийся характер, амплитуда перестанет увеличиваться. Частота колебаний груза будет равна частоте вращения рукоятки (частоте изменения внешней силы).

Превращение энергии при механических колебаниях .

Рассмотрим процесс превращения энергии на примере колебаний груза на нити (рис 10).

При отклонении маятника от положения равновесия он поднимается на высоту h относительно нулевого уровня,

следовательно, в точке А маятник обладает потенциальной энергией mgh. При движении к положению равновесия, к точке О, уменьшается высота до нуля, а скорость груза увеличивается, и в точке О вся потенциальная энергия mgh превратится в кинетическую энергию mυ 2 /2. В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении от положения равновесия становится равной нулю. При колебательном движении всегда происходят периодические превращения его кинетической и потенциальной энергии.

При свободных механических колебаниях неизбежно происходит потеря энергии на преодоление сил сопротивления. Если колебания происходят под действием периодической внешней силы, то такие колебания называют вынужденными . Например , родители раскачивают ребенка на качелях, поршень движется в цилиндре двигателя автомобиля, колеблются нож электробритвы и игла швейной машины.

Характер вынужденных колебаний зависит от характера действия внешней силы, от ее величины, направления, частоты действия и не зависит от размеров и свойств колеблющегося тела . Например, фундамент мотора, на котором он закреплен, совершает вынужденные колебания с частотой, определяемой только числом оборотов мотора, и не зависит от размеров фундамента.

При совпадении частоты внешней силы и частоты собственных колебаний тела амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает . Такое явление называют механическим резонансом. Графически зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты действия внешней силы показана на рисунке 11.

При отсутствии трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна возрастать со временем неограниченно. В реальных системах амплитуда в установившемся режиме резонанса определяется условием потерь энергии в течение периода и работы внешней силы за то же время. Чем меньше трение, тем больше амплитуда при резонансе.

Резонанс (от латинского слова resonans –дающий отзвук)

Пользуясь все той же установкой, проверим, как зависит от частоты внешней силы амплитуда установившихся колебаний. Амплитуда начинает расти при дальнейшем увеличении частоты внешней силы. Она достигает максимума, если свободные колебания груза будут действовать в такт с внешней силой. Амплитуда стремится к нулю, если частота внешней силы очень большая.

Вследствие, инертности тело не успевает смещаться и «дрожит на месте».

Зависимость амплитуды от внешней частоты представлена на рисунках .

Р
езонансом называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты свободных колебаний с частотой изменения внешней силы.

Применение резонанса и борьба с ним . Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены. Явление резонанса может быть причиной разрушения машин, зданий, мостов, если собственные их частоты совпадают с частотой периодически действующей силы. Поэтому, например, двигатели в автомобилях устанавливают на специальных амортизаторах, а воинским подразделениям при движении по мосту запрещается идти «в ногу».

Закрепление. Самостоятельная работа с учебником.

«Применение резонанса и борьба с ним»

Подготовить ответы на вопросы.

1. Какие тела, сооружения, машины представляют собой колебательную систему?

2. Насколько может увеличиться амплитуда, работающей машины?

3. Какие меры предпринимают, чтобы резонанс не наступил или хотя бы ослабить его?

4. Почему строевой шаг воинской части может привести к разрушению моста, через который часть переходит?

5. Привести примеры полезного действия резонанса.

Вопросы для закрепления.

Какие колебания называются вынужденными? (Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы).

Как происходят вынужденные колебания, под действием каких сил? (Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения.)

Чем отличаются вынужденные колебания от свободных? (В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно.)

Чему при этом равна полная энергия колебательной системы? (Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.)

Как зависит частота вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы? (Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.)

Что мы называем явлением резонанса? (В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ 0 , происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний - резонанс. )

Из-за чего возникает явление резонанс? (Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой.)

Какую роль играет явление резонанса?. (Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов.)

Приведите примеры явление резонанса. (Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.)

Домашнее задание: § 28, упр. 23

Итоги урока.

Тема 17 Затухающие и вынужденные колебания

1 Затухающие колебания. Величины их характеризующие.

2 Вынужденные колебания.

3 Резонанс.

Основные понятия по теме

При наличии в системе диссипативных сил амплитуда колебаний убывает с течением времени. Такие колебания принято называть затухающими колебаниями . Формально это означает, что в уравнение движения тела, совершающего свободные колебания, при описании затухающих колебаний, необходимо добавить слагаемые учитывающие диссипативные силы. В первом приближении величину этих сил принято считать пропорциональной скорости движения тела. В этом случае уравнение движения пружинного маятника (16.1) принимает вид

где коэффициент сопротивления.

Разделив обе части уравнения (17.1) на , перепишем его в виде

. (17.2)

В выражении (17.2) введены общепринятые обозначения собственная частота колебаний и коэффициент затухания.

Решение уравнения (17.2) имеет вид

Здесь частота затухающих колебаний, их начальная фаза. Функция описывает убывание амплитуды затухающих колебаний с течением времени. График зависимости смещения частицы из положения равновесия приведен на рисунке 17.1. Из вида приведенного графика следует принципиальный вывод – затухающие колебания являются негармоническими . Следовательно, величины используемые ранее для описания свободных колебаний, при описании затухающих колебаний непригодны. Исключение составляет только начальная фаза колебаний , так как она определяет начальные условия возбуждения колебаний и не связана с их дальнейшим поведением во времени.

Затухающие колебания принято характеризовать следующими величинами:

время релаксации колебаний. Время релаксации затухающих колебаний – это время, в течении которого их амплитуда уменьшается в раз;

коэффициент затухания, который характеризует диссипативные силы в системе. Коэффициент затухания связан с временем релаксации очевидным соотношением

и, следовательно, имеет размерность ;

декремент затухания. Декремент затухания показывает, во сколько раз амплитуда затухающих колебаний убывает за время одного полного колебания, то есть

; (17.5)

логарифмический декремент затухания; (17.6)

добротность колебательной системы, характеризующая ее энергетические потери за время одного полного колебания. Добротность

, (17.7)

где энергия, запасенная в системе в момент времени , потери энергии за время одного полного колебания.

Введенные выше понятия полностью характеризуют затухающие колебания, то есть описывают поведение кривых представленных на рисунке 17.1 в зависимости от времени. Обратное утверждение также является верным. Имея график зависимости , полученный экспериментально, можно определить все вышеназванные величины характеризующие затухающие колебания.

В реальных ситуациях затухание колебаний является неизбежным, но вредным явлением. Устранить его проявления в рассматриваемой колебательной системе можно, если в число сил, под действием которых происходят колебания, дополнительно включить вынуждающие силы, приводящие к компенсации потерь энергии в колебательной системе. Из основного условия, содержащегося в определении колебаний, «повторяемость во времени» следует, что вынуждающая сила должна иметь периодический характер

. (17.8)

В выражении (17.8) амплитуда вынуждающей силы, ее частота.

При добавлении вынуждающей силы в уравнение движения (17.1), последнее, приобретая внешний вид

, (17.9)

одновременно приобретает и качественно новое математическое свойство. В отличие от уравнений (16.1) и (17.1) уравнение (17.9) является неоднородным дифференциальным уравнением. Установившиеся вынужденные колебания описывает только частное решение неоднородного дифференциального уравнения (17.9), которое имеет вид

Из (17.10) следует, что вынужденные колебания, так же как и свободные, являются гармоническими. Однако они отличаются от свободных колебаний рядом особенностей. Во первых, как ясно из выражения (17.10), частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы, то есть вынуждающая сила навязывает колебательной системе свою частоту. Во вторых, амплитуда вынужденных колебаний

Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой (например, превращение энергии колебаний в теплоту вследствие трения в механических системах). Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода колебаний – Т (на рисунке 7.6 А 0 – начальная амплитуда колебаний).

Рисунок 7.6 – Характеристики затухающих колебаний

Затухающие механические колебания пружинного маятника происходят под действием двух сил: силы упругости и силы сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно получить:

или

Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение или

где β коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид

(7.20)

Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением этого уравнения является

Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колебаний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону (рисунок 7.6):

(7.22)

Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период характеризуется декрементом затухания, равным

(7.23)

или логарифмическим декрементом затухания:

(7.24)

Коэффициент затухания β обратно пропорционален времени τ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

т.е. (7.25)

Частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний и может быть найдена из выражения

(7.26)

где ω 0 частота собственных колебаний системы.

Соответственно период затухающих колебаний равен:

Или (7.27)

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при период .

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы материальную точку то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно бы восполняла убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Такая переменная сила называется вынуждающей F вын, а возникающие под ее действием незатухающие колебания – вынужденными .

Если вынуждающая сила изменяется в соответствием с выражением, то уравнение вынужденных колебаний примет вид

(7.28)

(7.29)

где ωциклическая частота вынуждающей силы.

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний . Реше­ние его может быть записано в виде

Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на φотносительно колебаний силы.

Амплитуда вынужденного колебания:

(7.30)

Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы­ражения

(7.31)

График вынужденных колебаний приведен на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Вынужденные колебания

При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление, как резонанс. Резонанс это резкое возрастание амплитуды колебаний системы.

Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас­смотрим уравнение (7.30). Найдем условие, при котором амплитуда при­нимает максимальное значение.

Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про­изводная равна нулю, т.е.

Дискриминант равен

Следовательно

После преобразования получаем

Следовательно – резонансная частота.

В простейшем случае резонанс наступает, когда внешняя периоди­ческая сила F меняется с частотой ω , равной частоте собственных колеба­ний системы ω = ω 0 .

Механические волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной .

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

Выделяют следующие типы волн:

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В любой упругой волне одновременно существуют два вида движения: колебание частиц среды и распространение возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение волны происходят в одном направлении, называется продольной , а волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называется поперечной .

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется синусоидальной (или гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ .

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

где – скорость распространения волны.

Так как (где ν частота колебания), то

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется волновым фронтом . Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью .